Solução para o Exemplo 2
Dois métodos para responder à questão do exemplo 2 são apresentados para mostrar a vantagem de usar a regra do produto dada acima.
Método 1: Usando o espaço de amostra
O espaço amostral S do experimento de lançar uma moeda duas vezes é dado pelo diagrama em árvore mostrado abaixo
O primeiro lançamento dá dois resultados possíveis: T ou H (em azul)
O segundo lançamento dá dois resultados possíveis: T ou H (em vermelho)
A partir do diagrama de árvore, podemos deduzir o espaço amostral \( S \) definido da seguinte forma
\( S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T,T) \} \)
com \( n(S) = 4 \) onde \( n(S) \) é o número de elementos no conjunto \( S \)
O evento \( E \) : "jogar uma moeda duas vezes e obter duas coroas" como um conjunto é dado por
\( E = \{(T,T) \} \)
com \( n(E) = 1 \) onde \( n(E) \) é o número de elementos no conjunto \( E \)
Use a fórmula de probabilidade clássica para encontrar \( P(E) \) como:
\( P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)} = \dfrac{1}{4}\)
Método 2: Use a regra do produto de dois eventos independentes
O evento \( E \) "lançar uma moeda duas vezes e obter coroa em cada lançamento" pode ser considerado como dois eventos
Evento \( A \) "jogue uma moeda uma vez e obtenha coroa" e evento \( B \) "jogue a moeda uma segunda vez e obtenha coroa"
com as probabilidades de cada evento \( A \) e \(B \) dadas por
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \quad\) e \( \quad P(B) = \dfrac{1}{2} \)
A ocorrência do evento E pode agora ser considerada como a ocorrência dos eventos A e B. Os eventos A e B são independentes e, portanto, a regra do produto pode ser usada da seguinte forma
\( P(E) = P( A \; e \; B) = P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ 1}{2} = \dfrac{1}{4} \)
NOTA Se você lançar uma moeda um grande número de vezes, o espaço amostral terá um grande número de elementos e, portanto, o método 2 é muito mais prático de usar do que o método 1, onde você tem um grande número de resultados.
Apresentamos agora mais exemplos e questões sobre como a regra do produto de eventos independentes é usada para resolver questões de probabilidade.
Exemplo 3
Uma moeda é lançada e um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obter cara e \( 4 \)?
Solução para o Exemplo 3
Temos dois eventos independentes a considerar:
Evento A "jogue uma moeda e obtenha cara" e evento B "jogue um dado e obtenha \( 4 \)"
No lançamento de uma moeda, a probabilidade de sair cara é
\( P(A) = \dfrac{1}{2} \)
No lançamento de um dado, a probabilidade de obter \( 4 \) é
\( P(B) = \dfrac{1}{6} \)
\( P ( \) " obtendo uma cabeça e um \( 4 \) " \( ) = P( A \; e \; B) = P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \)
Exemplo 4
Uma jarra contém 3 bolas azuis, 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Uma bola é selecionada aleatoriamente e a cor anotada é recolocada dentro da jarra. Uma segunda bola é selecionada com sua cor anotada e recolocada dentro da jarra. Uma terceira bola é selecionada e sua cor anotada.
Qual é a probabilidade de
a) selecionando 3 bolas vermelhas
b) selecionar uma bola azul, depois uma bola branca e depois uma bola azul
c) selecionar uma bola vermelha, depois uma bola branca e depois uma bola azul
Solução para o Exemplo 4
a)
Deixe o evento A "selecionar uma bola vermelha pela primeira vez",
evento B "selecione uma bola vermelha pela segunda vez"
e evento C "selecione uma bola vermelha pela terceira vez"
Todos os três eventos A, B e C são independentes porque a bola selecionada é recolocada na jarra.
O número total de bolas é 10 e há 5 bolas vermelhas.
Vamos agora calcular a probabilidade de selecionar uma bola vermelha.
Existem 5 bolas vermelhas de um total de 10, portanto
\( P(A) \) = \( P(B) \) = \( P(C) \) =\( P(vermelho) = \dfrac{5}{10} \\ = \dfrac{1} {2} \)
Usamos uma fórmula estendida para três eventos independentes
\( P( \; A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} \)
b)
Deixe o evento A "selecionar uma bola azul pela primeira vez",
evento B "selecione uma bola branca pela segunda vez"
e evento C "selecione uma bola azul pela terceira vez"
\( P(A) = P(azul) = \dfrac{3}{10} \quad , \quad P(B) = P(branco) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{ 5} \quad , \quad P(C) = P(azul) = \dfrac{3}{10}\)
\( P( A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{9}{5000} \)
c)
Deixe o evento A "selecionar uma bola vermelha pela primeira vez",
evento B "selecione uma bola branca pela segunda vez"
e evento C "selecione uma bola azul pela terceira vez"
\( P(A) = P(vermelho) = 1/2 \)
\( P(B) = P(branco) = 1/5 \)
\( P(C) = P(azul) = 3/10 \)
\( P( A \; e \; B \; e \; C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \\\\ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{3}{10} \\\\ = \dfrac{3}{100} \)
Exemplo 5
Uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas e depois recolocada e uma segunda carta é retirada. Encontre a probabilidade de obter um “2” e depois um “Rei”.
Solução para o Exemplo 5
Temos dois eventos independentes a considerar:
Evento A "compre uma carta e ganhe um 2" e evento B "compre uma carta e ganhe um Rei"
Como a placa foi substituída, os dois eventos A e B são independentes.
Vamos primeiro encontrar \( P(A) \) e \( P(B) \).
\( P(A) = 4/52 = 1/13 \)
\( P(B) = 4/52 = 1/13 \)
\( P (A \; e \; B) = P(A) \cdot P(B) = \dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{13} = \dfrac{1}{169 }\)