Uma calculadora online para calcular o binomial distribuição de probabilidade e as probabilidades de "pelo menos" e "no máximo" relacionadas aos binômios.
Se em um determinado experimento binomial, a probabilidade de que em um único evento de tentativa A ocorra é \( p \), então a probabilidade de que A ocorra exatamente \( x \) vezes em \( n \) tentativas é dada por:
\[ P(X = x,n,p) = {n \choose x} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} = \dfrac{n!}{x! (n-x)!} \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \]
A calculadora abaixo calcula a distribuição de probabilidade binomial \( P(X = x,n,p)\) de \( x=0\) a \( x = n \), para diferentes valores de n e a probabilidade p. A calculadora abaixo ajuda a investigar essas distribuições em diversas situações.
A mesma calculadora também calcula a probabilidade de "pelo menos" \( x \) dada por \( P(X \ge x,n,p)\) e "no máximo" \( x \) dada por \( P( X \le x,n,p)\)
Exemplo 1
Em cada tentativa, a probabilidade de que o evento A ocorra é \( p = 0,4 \)
a) Qual é a probabilidade de o evento A ocorrer 3 vezes após 6 tentativas?
b) Qual é a probabilidade de o evento A ocorrer pelo menos 3 vezes após 6 tentativas?
c) Qual é a probabilidade de o evento A ocorrer no máximo 3 vezes após 6 tentativas?
Solução para o Exemplo 1
a) \( P(X = 3,6,0,4) = \dfrac{6!}{3! (6-3)!} \cdot 0,4^3 \cdot (1-0,4)^{6-3} = 0,276480 \)
b)
Pelo menos 3 vezes significa que \( x \) é \( 3, 4, 5 \; \text{ou} \; 6\) ou \( x \ge 3 \)
\( P(\text{pelo menos 3 vezes}) = P( X = 3 \; ou \; X = 4 \; ou \; X = 5 \; ou \; X = 6 ) \)
Usando a fórmula binomial, a probabilidade pode ser escrita como
\( P(X \ge 3,6,0,4) = P(X = 3,6,0,4) + P(X = 4,6,0,4) + P(X = 5,6,0,4) + P(X = 6,6,0,4) = 0,455680 \)
c)
No máximo 3 vezes significa que \( x \) é \( 0, 1, 2 \; \text{ou} \; 3\) ou \( x \le 3 \)
\( P(\text{no máximo 3 vezes}) = P( x = 0 \; ou \; x = 1 \; ou \; x = 2 \; ou \; x = 3 ) \)
Usando a fórmula binomial, a probabilidade pode ser escrita como
\(P(X \le 3,6,0,4) = P(X = 0,6,0,4) + P(X = 1,6,0,4) + P(X = 1,6,0,4) + P(X = 3,6,0,4) = 0,820800\)
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