Problemas de contagem são apresentados juntamente com suas soluções detalhadas e explicações detalhadas.
Princípio da Contagem
Comecemos por apresentar o princípio da contagem através de um exemplo.
Um aluno deve fazer um curso de física, um de ciências e um de matemática. Ele pode escolher um dos 3 cursos de física (P1, P2, P3), um dos 2 cursos de ciências (S1, S2) e um dos 2 cursos de matemática (M1, M2). De quantas maneiras esse aluno pode selecionar as 3 disciplinas que deverá cursar?
Vamos usar um diagrama em árvore que mostra todas as escolhas possíveis. A primeira coluna à esquerda mostra as 3 escolhas possíveis do curso de Física: P1, P2 ou P3. Depois a segunda coluna mostra as 2 escolhas possíveis do curso de ciências e a última coluna mostra as 2 escolhas possíveis do curso de matemática. As diferentes maneiras pelas quais os 3 cursos podem ser selecionados são:
(P1 S1 M1), (P1 S1 M2), (P1 S2 M1), (P1 S2 M2)
(P2 S1 M1), (P2 S1 M2), (P2 S2 M1), (P2 S2 M2)
(P3 S1 M1), (P3 S1 M2), (P3 S2 M1), (P3 S2 M2)
O número total de escolhas pode ser calculado da seguinte forma:
Seja n1 o número de opções do curso de física, aqui n1 = 3. Seja n2 o número de opções do curso de ciências, aqui n2 = 2. Seja n3 o número de opções do curso de matemática, aqui n3 = 2 . Fica claro no diagrama em árvore acima que o número total N de escolhas pode ser calculado da seguinte forma:
N = n1 × n2 × n3 = 3 × 2 × 2 = 12
Usando o problema acima, podemos generalizar e escrever uma fórmula relacionada à contagem da seguinte forma:
"Se os eventos E1, E2, E3... podem ocorrer em n1, n2, n3... maneiras diferentes respectivamente, o número de maneiras pelas quais todos os eventos podem ocorrer é igual a
n1 × n2 × n3 ...
Problema 1
Para adquirir um sistema de computador, o cliente pode escolher um entre 4 monitores, um entre 2 teclados, um entre 4 computadores e uma entre 3 impressoras. Determine o número de sistemas possíveis que um cliente pode escolher.
Solução para o problema 1
Um cliente pode escolher um monitor, um teclado, um computador e uma impressora. O diagrama abaixo mostra cada item com o número de opções que o cliente tem.
Usando o princípio de contagem usado na introdução acima, o número de todos os sistemas de computador possíveis que podem ser comprados é dado por
N = 4 × 2 × 4 × 3 = 96
Problema 2
Em um determinado país, os números de telefone têm 9 dígitos. Os primeiros dois dígitos são o código de área (03) e são iguais dentro de uma determinada área. Os últimos 7 dígitos são o número local e não podem começar com 0. Quantos números de telefone diferentes são possíveis dentro de um determinado código de área neste país?
Solução para o problema 2
O diagrama abaixo mostra o número de opções para cada dígito. O primeiro dígito do código de área é 0, sem escolha, que na verdade é apenas uma escolha. O segundo dígito do código de área é 1, sem escolha ou apenas uma escolha. O primeiro dígito do código local pode ser qualquer dígito, exceto 0, ou seja, 9 opções. O 2º, 3º, 4º, 5º, 6º e 7º dígitos do código local podem ser qualquer dígito, portanto, 10 opções cada.
Usando o princípio da contagem, o número total de números de telefone possíveis é dado por
Um aluno pode selecionar um de 6 livros de matemática diferentes, um de 3 livros de química diferentes e um de 4 livros de matemática diferentes. diferentes livros de ciências. De quantas maneiras diferentes um aluno pode selecionar um livro de matemática, um livro de química e um livro de ciências?
Solução para o problema 3
O número total N de maneiras diferentes pelas quais os alunos podem selecionar seus 3 livros é dado por
N = 6 × 3 × 4 = 72
Problema 4
Existem 3 estradas diferentes da cidade A para a cidade B e 2 estradas diferentes da cidade B para a cidade C De quantas maneiras alguém pode ir da cidade A até a cidade C passando pela cidade B?
Solução para o problema 4
O número total N de maneiras diferentes pelas quais alguém pode ir da cidade A para a cidade C, passando pela cidade B é
N = 3 × 2 = 6
Problema 5
Um homem tem 3 ternos diferentes, 4 camisas diferentes e 5 pares de sapatos diferentes. De quantas maneiras diferentes esse homem pode usar terno, camisa e par de sapatos?
Solução para o problema 5
O número total N de maneiras diferentes que este homem pode usar um de seus ternos, uma de suas camisas e um par de sapatos é
N = 3 × 4 × 5 = 60
Problema 6
Em uma empresa, os cartões de identificação possuem números de 5 dígitos.
a) Quantos cartões de identificação podem ser formados se for permitida a repetição do dígito?
b) Quantos cartões de identificação podem ser formados se não for permitida a repetição do dígito?
Solução para o problema 6
a) No diagrama abaixo, qualquer um dos 5 dígitos do número a ser formado pode ser qualquer um dos 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9. Daí as 10 escolhas para cada dígito do número a ser formado, já que é permitida a repetição dos dígitos de 0 a 9. Quando a repetição é permitida, o número total N de carteiras de identidade é dado pelo número total de números de 5 dígitos que podem ser formados e é dado por:
N = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100,000
b) No diagrama abaixo, o primeiro dígito do número a ser formado pode ser qualquer um dos 10 dígitos, daí as 10 opções. O segundo dígito pode ser qualquer um dos 10 dígitos, exceto o dígito usado na posição 1, uma vez que nenhuma repetição dos dígitos é permitida, daí as 9 opções. O terceiro dígito pode ser qualquer um dos 10 dígitos, exceto os dois já utilizados nas posições 1 e 2, pois a repetição não é permitida, daí as 8 opções e assim por diante.
O número N de cartões de identificação é dado por
N = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30,240
Problema 7
Em um determinado país, os números das placas têm 3 letras seguidas de 4 dígitos. Quantos números de placas diferentes podem ser formados? (letras e dígitos podem ser repetidos).
Solução para o problema 7
26 (todas as letras do alfabeto) opções são possíveis para cada uma das 3 letras a serem usadas para formar o número da licença. 10 escolhas (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) são possíveis para cada um dos 4 dígitos. O número total de números de licença é dado por
Usando os algarismos 1, 2, 3 e 5, quantos números de 4 algarismos podem ser formados se
a) O primeiro dígito deve ser 1 e é permitida a repetição dos dígitos?
b) O primeiro dígito deve ser 1 e não é permitida a repetição dos dígitos?
c) O número deve ser divisível por 2 e a repetição é permitida?
b) O número deve ser divisível por 2 e a repetição não é permitida?
Solução para o problema 8
a) 1 opção para o primeiro dígito. 4 escolhas para os últimos 3 dígitos que formam o número de 4 dígitos, uma vez que a repetição é permitida. Portanto, o número N de números que podemos formar é dado por
N = 1 × 4 × 4 × 4 = 64
b) 1 opção para o primeiro dígito. 3 escolhas para o segundo dígito do número a ser formado, pois não é permitida repetição. 2 escolhas para o terceiro dígito do número a ser formado. 1 escolha para o quarto dígito do número a ser formado. Portanto, o número N de números que podemos formar é dado por
N = 1 × 3 × 2 × 1 = 6
c) Para que o número a ser formado seja divisível por dois, o último dígito deve ser 2, portanto, uma escolha para este dígito. 4 opções para cada um dos outros dígitos, pois a repetição é permitida. Portanto, o número N de números que podemos formar é dado por
N = 4 × 4 × 4 × 1 = 64
d) Para que o número a ser formado seja divisível por dois, o último dígito deve ser 2, portanto, uma escolha para este dígito. 3 opções para o primeiro dígito, 2 opções para o segundo dígito e 1 escolha para o terceiro dígito que formam o número. Portanto, o número N de números que podemos formar é dado por
N = 3 × 2 × 1 × 1 = 6
Problema 9
Uma moeda é lançada três vezes. Qual é o número total de todos os resultados possíveis?
Solução para o problema 9
Na primeira vez que a moeda é lançada, 2 resultados diferentes são possíveis (cara, coroa). Na segunda vez que a moeda é lançada, outros 2 resultados diferentes são possíveis e na terceira vez que a moeda é lançada, outros 2 resultados diferentes são possíveis. Portanto, o número total de resultados possíveis é igual a
N = 2 × 2 × 2 = 8
Problema 10
Dois dados são lançados. Qual é o número total de todos os resultados possíveis?
Solução para o problema 10
Seis resultados possíveis para o primeiro dado (1,2,3,4,5,6) e 6 outros resultados possíveis para o segundo dado. O número total de resultados diferentes é
N = 6 × 6 = 36
Problema 11
Uma moeda é lançada e um dado é lançado. Qual é o número total de todos os resultados possíveis?
Solução para o problema 11
Dois resultados possíveis para a moeda (cara,coroa) e 6 resultados possíveis (1,2,3,4, 5,6) para o dado. O número total de resultados diferentes é
