Tutorial sobre distribuições de probabilidade discreta

Tutorial sobre distribuições de probabilidade discretas com exemplos e soluções detalhadas.

Distribuição Discreta de Probabilidade

Seja X uma variável aleatória discreta que assume os valores numéricos X1, X2, ..., Xn com probabilidades p(X1), p(X2), ..., p(Xn) respectivamente. Uma distribuição de probabilidade discreta consiste nos valores da variável aleatória X e suas probabilidades correspondentes P(X).
As probabilidades P(X) são tais que

Exemplo 1

Solução do Exemplo 1

• a) Primeiro construímos um diagrama de árvore para representar todas as distribuições possíveis de meninos e meninas na família.
  B representa um menino e G representa uma menina.
  
  
• Supondo que todas as possibilidades acima sejam igualmente prováveis, as probabilidades são:
  P(X=2) = P(BB) = 1 / 4
  P(X=1) = P(BG) + P(GB) = 1 / 4 + 1 / 4 = 1 / 2
  P(X=0) = P(GG) = 1 / 4
  
• A distribuição de probabilidade discreta de X é dada por
  

  X	P(X)
  0	1 / 4
  1	1 / 2
  2	1 / 4

  
  
• Observe que
  ∑ P(X) = 1
  
• b) A média µ da variável aleatória X é definida por
  μ = ∑ X P(X)
  Substitua X e P(X) pelos seus valores na tabela acima para obter
  μ = 0 * (1/4) + 1 * (1/2) + 2 * (1/4) = 1
  
• O desvio padrão σ da variável aleatória X é definida por
  σ = √ [ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  Substitua X e P(X) pelos seus valores na tabela acima para obter
  σ = √ [ (0 - 1) ² * (1/4) + (1 - 1) ² * (1/2) + (2 - 1) ² * (1/4) ]
  = 1 / √ (2)

Exemplo 2

Dois dados equilibrados são lançados. Seja X a soma dos dois dados.
a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X.
b) Encontre a média e o desvio padrão de X.

Solução do Exemplo 2

• a) Quando os dois dados equilibrados são lançados, há 36 resultados possíveis igualmente prováveis, conforme mostrado abaixo.
  
  
• Os valores possíveis de X são: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 and 12.
  
• Os resultados possíveis são igualmente prováveis, portanto as probabilidades P(X) são dadas por
  P(2) = P(1,1) = 1 / 36
  P(3) = P(1,2) + P(2,1) = 2 / 36 = 1 / 18
  P(4) = P(1,3) + P(2,2) + P(3,1) = 3 / 36 = 1 / 12
  P(5) = P(1,4) + P(2,3) + P(3,2) + P(4,1) = 4 / 36 = 1 / 9
  P(6) = P(1,5) + P(2,4) + P(3,3) + P(4,2) + P(5,1)= 5 / 36
  P(7) = P(1,6) + P(2,5) + P(3,4) + P(4,3) + P(5,2) + P(6,1)
  = 6 / 36 = 1 / 6
  P(8) = P(2,6) + P(3,5) + P(4,4) + P(5,3) + P(6,2) = 5 / 36
  P(9) = P(3,6) + P(4,5) + P(5,4) + P(6,3) = 4 / 36 = 1 / 9
  P(10) = P(4,6) + P(5,5) + P(6,4) = 3 / 36 = 1 / 12
  P(11) = P(5,6) + P(6,5) 2 / 36 = 1 / 18
  P(12) = P(6,6) = 1 / 36
  
• A distribuição de probabilidade discreta de X é dada por
  

  X	P(X)
  2	1 / 36
  3	1 / 18
  4	1 / 12
  5	1 / 9
  6	5 / 36
  7	1 / 6
  8	5 / 36
  9	1 / 9
  10	1 / 12
  11	1 / 18
  12	1 / 36

  
  O gráfico da probabilidade da soma de dois dados é mostrado abaixo.
  
  
  
  
• Como exercício, verifique se
  ∑ P(X) = 1
  
• b) A média de X é dada por (ver fórmula da média acima)
  µ = ∑ X P(X)
  = 2*(1/36)+3*(1/18)+4*(1/12)+5*(1/9)+6*(5/36)
  +7*(1/6)+8*(5/36)+9*(1/9)+10*(1/12)
  +11*(1/18)+12*(1/36)
  = 7
  
• O desvio padrão de é dado por (ver fórmula do desvio padrão acima
  µ = σ √ [ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √ [ (2-7)²*(1/36)+(3-7)²*(1/18)
  +(4-7)²*(1/12)+(5-7)²*(1/9)+(6-7)²*(5/36)
  +(7-7)²*(1/6)+(8-7)²*(5/36)+(9-7)²*(1/9)
  +(10-7)²*(1/12)+(11-7)²*(1/18)+(12-7)²*(1/36) ]
  ≈ 2.41

Example 3

Três moedas são lançadas. Seja X o número de caras obtidas. Construa uma distribuição de probabilidade para X e encontre sua média e desvio padrão.

Solução para o Exemplo 3

• O diagrama de árvore que representa todos os resultados possíveis quando três moedas são lançadas é mostrado abaixo.
  
  
• Supondo que todas as três moedas sejam idênticas e todos os resultados possíveis sejam igualmente prováveis, as probabilidades são:
  P(X=0) = P(TTT) = 1 / 8
  P(X=1) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH)
  = 1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8
  = 3 / 8
  P(X=2) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH)
  = 1 / 8 + 1 / 8 + 1 / 8
  = 3 / 8
  P(X=3) = P(HHH) = 1 / 8
  
• A distribuição de probabilidade discreta de X é dada por
  

  X	P(X)
  0	1 / 8
  1	3 / 8
  2	3 / 8
  3	1 / 8

  
  
• Pode-se facilmente verificar que
  ∑ P(X) = 1
  
• Agora calculamos a média µ da variável aleatória X como segue
  µ = ∑ X P(X)
  = 0 * (1/8) + 1 * (3/8) + 2 * (3/8) + 3 * (1/8) = 1.5
  
• Calculamos agora o desvio padrão σ da variável aleatória X como segue
  σ = √[ ∑ (X- µ) ² P(X) ]
  = √ [ (0 - 1.5) ² * (1/8) + (1 - 1.5) ² * (3/8) + (2 - 1.5) ² * (3/8) + (3 - 1.5) ² * (1/8) ]
  ≈ 0.87 (rounded to 2 decimal places)

Mais referências e links