Perguntas fatoriais com soluções

Questões sobre avaliação e simplificação de expressões com notação fatorial são apresentadas juntamente com suas soluções.

Definição de Fatorial

Seja \( n \) um número inteiro positivo. \(n\) fatorial, escrito \( n! \), é definido por

\[ n! = 1 \times 2 \times 3 \times ... (n - 1) \times n \]
With \( 0! \) defined by: \[ 0! = 1 \]

Pergunta 1

1. \( 4! \)
   
2. \( 5! \times 5! \)
   
3. \( 3! \times 0! \)
   
4. \( \dfrac{ 4!}{0!} \)
   
5. \( \dfrac{6!}{2! \times 4!} \)

Solução para a pergunta 1

1. \( 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 \)
   
2. \( 5! \times 5! = (5!)^2 = (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5)^2 = 120^2 = 14400 \)
   
3. \( 3! \times 0! = (1 \times 2 \times 3) \times 1 = 6 \)
   
4. \( \dfrac{ 4!}{0!} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{1} = 24\)
   
5. \( \dfrac{6!}{2! \times 4!} \)
   \( = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{ (1 \times 2 ) \times ( 1 \times 2 \times 3 \times 4) } \)
   \( = 15 \)

Pergunta 2

Simplifique as seguintes expressões:

1. \( \dfrac{(n + 2)!}{n!} \)
   
2. \( \dfrac{(2n + 2)!}{(2n)!} \)
   
3. \( \dfrac{(n - 1)!}{(n + 1)!} \)

Solução para a pergunta 2

1. Expanda os fatoriais
   \( \dfrac{(n + 2)!}{n!} \)
   \( = \dfrac{ 1 \times 2 \times ... \times n \times (n + 1) \times (n + 2) } {1 \times 2 \times ...\times n } \)
   Cancele os fatores comuns, no numerador e no denominador, e simplifique para obter
   \( = (n + 1)(n + 2) \)
   
2. Expanda os fatoriais
   \( \dfrac{(2n + 2)!}{(2n)!} \)
   \( = \dfrac{ 1 \times 2 \times 3...(2n) \times (2n + 1) \times (2n + 2) } {1 \times 2 \times 3...2n} \)
   Cancele os fatores comuns, no numerador e no denominador, e simplifique para obter
   \( = (2n + 1) \times (2n + 2) \)
   
3. Expanda os fatoriais
   \( \dfrac{(n - 1)!}{(n + 1)!} \)
   \( = \dfrac {1 \times 2 \times 3...(n - 1) }{1 \times 2 \times 3...(n - 1) \times n \times (n + 1)} \)
   Cancele os fatores comuns no numerador e no denominador e simplifique para obter
   \( = \dfrac{1}{n(n+1)} \)

Exercícios

a) Avalie \( \dfrac{(10! / 5!)}{10} \)
b) Simplificar \( \dfrac{(n + 1)!}{n!} \)

Respostas aos exercícios acima

Mais referências e links