As probabilidades estão associadas a experimentos onde o resultado não é conhecido antecipadamente ou não pode ser previsto. Por exemplo, se você jogar uma moeda, obterá cara ou coroa? Se você lançar um dado obterá 1, 2, 3, 4, 5 ou 6?
A probabilidade mede e quantifica “quão provável” um evento relacionado a esses tipos de experimento ocorrerá. O valor de uma probabilidade é um número entre 0 e 1 inclusive. Um evento que não pode ocorrer tem uma probabilidade (de acontecer) igual a 0 e a probabilidade de um evento que certamente ocorrerá tem uma probabilidade igual a 1. (veja a escala de probabilidade abaixo).
Para quantificar probabilidades, precisamos definir o espaço amostral de um experimento e os eventos que podem estar associados a esse experimento.
Espaço de amostra e eventos
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis em um experimento.
Exemplo 1: Se um dado for lançado, o espaço amostral S é dado por
S = {1,2,3,4,5,6}
Exemplo 2: Se duas moedas forem lançadas, o espaço amostral S é dado por
S = {HH,HT,TH,TT} , onde H = cabeça e T = cauda.
Exemplo 3: Se dois dados forem lançados, o espaço amostral S é dado por
S = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) }
Definimos um evento como algum resultado específico de um experimento. Um evento é um subconjunto do espaço amostral.
Exemplo 4: Um dado é lançado (veja o exemplo 1 acima para o espaço amostral). Vamos definir o evento E como o conjunto de resultados possíveis onde o número na face do dado é par. O evento E é dado por
E = {2,4,6}
Exemplo 5: Duas moedas são lançadas (veja o exemplo 2 acima para o espaço amostral). Vamos definir o evento E como o conjunto de resultados possíveis onde o número de cabeças obtido é igual a dois. O evento E é dado por
E = {(HT),(TH)}
Exemplo 6: Dois dados são lançados (veja o exemplo 3 acima para o espaço amostral). Vamos definir o evento E como o conjunto de resultados possíveis onde a soma dos números nas faces dos dois dados é igual a quatro. O evento E é dado por
E = {(1,3),(2,2),(3,1)}
Como calcular probabilidades?
1 - Fórmula Clássica de Probabilidade
Baseia-se no fato de que todos os resultados são igualmente prováveis.
Número total de resultados em E
P(E)=
________________________________________________
Número total de resultados no espaço amostral
Exemplo 7: Um dado é lançado, encontre a probabilidade de obter um 3.
O evento de interesse é “tirar 3”. então E = {3}.
O espaço amostral S é dado por S = {1,2,3,4,5,6}.
O número de resultados possíveis em E é 1 e o número de resultados possíveis em S é 6. Portanto, a probabilidade de obter 3 é
P(E) = 1/6.
Exemplo 8: Um dado é lançado, encontre a probabilidade de obter um número par.
O evento de interesse é “obter um número par”. então E = {2,4,6}, os números pares em um dado.
O espaço amostral S é dado por S = {1,2,3,4,5,6}.
O número de resultados possíveis em E é 3 e o número de resultados possíveis em S é 6. Portanto, a probabilidade de obter um número par é
P(E) = 3/6 = 1/2.
2 - Fórmula de probabilidade empírica
Utiliza dados reais sobre situações presentes para determinar a probabilidade de ocorrência de resultados no futuro. Vamos esclarecer isso usando um exemplo
30 pessoas foram questionadas sobre as cores que gostam e aqui estão os resultados:
Cor
frequência
vermelho
10
azul
15
verde
5
Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente do grupo de 30 acima, qual é a probabilidade de essa pessoa gostar da cor vermelha?
Seja o evento E "gosta da cor vermelha". Por isso
Frequência para cor vermelha
P(E)=
________________________________________________
Frequências totais na tabela acima
= 10 / 30 = 1 / 3
Example 9: A tabela abaixo mostra a distribuição dos alunos, por nível, em uma escola.
Nível
frequência
1
50
2
30
3
40
4
42
5
38
6
50
Se um aluno for selecionado aleatoriamente nesta escola, qual é a probabilidade de esse aluno estar no nível 3??
Seja o evento E "aluno do nível 3". Por isso
