Média e Desvio Padrão - Problemas com Soluções

Média e desvio padrão problemas junto com suas soluções na parte inferior da página são apresentados. Problemas relacionados a conjuntos de dados, bem como a dados agrupados, são discutidos.

Problemas

  1. Considere os três conjuntos de dados a seguir A, B e C.
    UMA = {9,10,11,7,13}
    B = {10,10,10,10,10}
    C = {1,1,10,19,19}
    a) Calcule a média de cada conjunto de dados.
    b) Calcule o desvio padrão de cada conjunto de dados.
    c) Qual conjunto tem o maior desvio padrão?
    d) É possível responder à questão c) sem cálculos do desvio padrão?

  2. Um determinado conjunto de dados tem uma média μ e um desvio padrão σ.
    a) Quais são os novos valores da média e do desvio padrão se a mesma constante k for adicionada a cada valor de dados no conjunto dado? Explique.
    b) Quais serão os novos valores da média e do desvio padrão se cada valor dos dados do conjunto for multiplicado pela mesma constante k? Explique.

  3. Se o desvio padrão de um determinado conjunto de dados for igual a zero, o que podemos dizer sobre os valores dos dados incluídos nesse conjunto de dados?

  4. A tabela de frequência dos salários mensais de 20 pessoas é apresentada a seguir.
    salário(em $)frequência
    3.5005
    40008
    42005
    43002

    a) Calcule a média dos salários das 20 pessoas.
    b) Calcule o desvio padrão dos salários das 20 pessoas.

  5. A tabela a seguir mostra os dados agrupados, em classes, para alturas de 50 pessoas.
    altura (em cm) - classesfrequência
    ( 120 , 130 ] 2
    ( 130 , 140 ]5
    ( 140 , 150 ]25
    ( 150 , 160 ]10
    ( 160 , 170 ]8

    a) Calcule a média dos salários das 20 pessoas.
    b) Calcule o desvio padrão dos salários das 20 pessoas.



Soluções

    1. média do conjunto de dados A = (9+10+11+7+13)/5 = 10
      média do conjunto de dados B = (10+10+10+10+10)/5 = 10
      média do conjunto de dados C = (1+1+10+19+19)/5 = 10

    2. Conjunto de dados de desvio padrão A
      = √[ ( (9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(7- 10)2+(13-10)2 )/5 ] = 2
      Conjunto de dados de desvio padrão B
      = √[ ( (10-10)2+(10-10)2+(10-10)2+(10- 10)2+(10-10)2 )/5 ] = 0
      Conjunto de dados de desvio padrão C
      = √[ ( (1-10)2+(1-10)2+(10-10)2+(19- 10)2+(19-10)2 )/5 ] = 8,05
    3. O conjunto de dados C tem o maior desvio padrão.
    4. Sim, uma vez que o conjunto de dados C possui valores de dados mais distantes da média em comparação aos conjuntos A e B.


    1. Limitamos a discussão a um conjunto de dados com 3 valores para simplificar, mas as conclusões são verdadeiras para qualquer conjunto de dados com dados quantitativos.
      Sejam x, y e z os valores dos dados que compõem um conjunto de dados.
      A média μ = (x + y + z) / 3
      O desvio padrão σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2) /3]
      Agora adicionamos uma constante k a cada valor de dados e calculamos a nova média μ'.
      μ' = ((x + k) + (y + k) + (z + k)) / 3 = (x + y + z) / 3 + 3k/3 = μ + k
      Calculamos agora o novo desvio padrão médio σ'.
      σ' = √[ ((x + k - μ')2 +(y + k - μ')2+(z + k - μ') 2)/3 ]
      Observe que x + k - μ' = x + k - μ - k = x - μ
      também y + k - μ' = y + k - μ - k = y - μ e z + k - μ' = z + k - μ - k = z - μ
      Portanto σ' = √[ ((x - μ)2 +(y - μ)2+(z - μ)2) /3 ] = σ
      Se adicionarmos a mesma constante k a todos os valores de dados incluídos em um conjunto de dados, obteremos um novo conjunto de dados cuja média é a média do conjunto de dados original MAIS k. O desvio padrão não muda.
    2. Agora multiplicamos todos os valores dos dados por uma constante k e calculamos a nova média μ' e o novo desvio padrão σ'.
      μ' = (kx + ky + kz) / 3 = kμ
      σ' = √[ ((kx - kμ)2 +(ky - kμ)2+(kz - kμ)2) /3 ] = |k| σ
      Se multiplicarmos todos os valores de dados incluídos em um conjunto de dados por uma constante k, obteremos um novo conjunto de dados cuja média é a média do conjunto de dados original VEZES k e o desvio padrão é o desvio padrão do conjunto de dados original VEZES o valor absoluto de k.


    1. Novamente, limitamos a discussão a um conjunto de dados com 4 valores para simplificar, mas as conclusões são verdadeiras para qualquer conjunto de dados com dados quantitativos.
      Sejam x, y, z e w os valores dos dados que formam um conjunto de dados com média μ.
      O desvio padrão σ = √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - μ)2)/3 ]
      Deixe o σ = 0, portanto
      √[ ((x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + ( w - μ)2)/3 ] = 0
      Que dá
      (x - μ)2 + (y - μ)2 + (z - μ)2 + (w - μ )2 = 0
      Todos os termos da equação são positivos e, portanto, a equação acima é equivalente a
      (x - μ)2 = 0, (y - μ)2 = 0, (z - μ)2 = 0 e (w - μ)2 = 0.
      Que dá
      x = y = z = w = μ : todos os valores de dados no conjunto com σ = 0 são iguais.


    1. Seja xi o i-ésimo salário e fi a frequência correspondente.
      média dos dados agrupados = μ = (Σxi*fi) / Σfi
      = (3500*5 + 4000*8 + 4200*5 + 4300*2) /(5 + 8 + 5 + 2)
      = $ 3.955
      b) desvio padrão dos dados agrupados = √[ (Σ(xi-μ)2*fi) / Σ feu ]
      = √[ (5*(3500-3955)2+8*(4000-3955)2+5*(4200-3955)2+2*(4300-3955)2) /(20) ]
      ≈ 282 (arredondado para a unidade mais próxima)


    1. Primeiro encontramos os pontos médios das classes fornecidas.
      altura (em cm) - classesponto médiofrequência
      ( 120 , 130 ](120+130) ÷ 2 = 1252
      ( 130 , 140 ](130+140) ÷ 2 = 1355
      ( 140 , 150 ](140+150) ÷ 2 = 14525
      ( 150 , 160 ](150+160) ÷ 2 = 15510
      ( 160 , 170 ](160+170) ÷ 2 = 1658

      Seja mi o ponto médio da i-ésima classe e fi a frequência correspondente.
      média dos dados agrupados = μ = (Σmi*fi) / Σfi
      = (125*2 + 135*5 + 145*25 + 155*10 + 165*8) /(2+5+25+10+8)
      ≈ 148,4
      b) desvio padrão dos dados agrupados = √[ (Σ(mi-μ)2*fi) / Σ feu ]
      = √[ (2*(125-148,4)2+5*(135-148,4)2+25*(145-148,4)2+10*(155-148,4)2+8*(165-148,4)2) /(50) ]
      ≈ 9,9

Mais referências e links

estatísticas e probabilidades elementares.
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