Média, mediana e moda de um conjunto de dados
Exemplos sobre como encontrar a média, mediana e moda de um conjunto de dados de números reais são apresentados juntamente com suas soluções e explicações detalhadas. A média, mediana e moda são medidas estatísticas de tendências centrais que em dados bem distribuídos tendem a resumir todo um conjunto de dados com um único valor. Essas três medidas são fáceis de entender e usar na comparação de conjuntos de dados.
Os outliers também são definidos e discutidos e seus efeitos na média, mediana e moda discutidos através de exemplos com suas soluções.
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Mediana e o
Modo estão incluídos.
Média de um conjunto de dados
A média aritmética (ou média) de um conjunto de dados é definida como a soma de todos os valores de dados no conjunto dividida pelo número de valores neste conjunto. Se x1, x2, x3 ... xN são os valores em um conjunto de dados, a média μ é dado pela fórmula
Exemplo 1
Em uma prova de matemática, os alunos da turma A pontuaram 55, 72, 96, 92, 87, 52, 92, 45, 58, 77, 86, 80 e os alunos da turma B pontuaram 55, 67, 75, 95, 82 , 86, 38, 90, 42, 56, 82, 96. Qual é a pontuação média (média) de cada turma? Use os dois meios para comparar o desempenho das duas classes.
Solução do Exemplo 1
Existem 12 pontuações na classe A, portanto N = 12. Use a fórmula para calcular a média da classe A da seguinte forma
Existem 12 pontuações na classe B, portanto N = 12. Use a fórmula para calcular a média para a classe B da seguinte forma
A média (média) da classe A é maior que a média da classe B. Em média, a classe A "pontuou" melhor do que a classe B, mas se examinarmos os dois conjuntos de pontuações, nem todos os alunos da classe A obtiveram pontuações mais altas do que todos os alunos da classe B.
Para qualquer conjunto de valores de dados, a média é maior que o menor valor e menor que o maior valor. Na classe A acima a menor pontuação é 55 e a maior pontuação é 96 e a média é 74,3. Na classe B, a média é 72 e as menores e maiores pontuações são 55 e 96, respectivamente.
Mediana de um conjunto de dados
A mediana de um conjunto de dados é o valor médio dos dados após ordenar os dados fornecidos. Se o número N de valores de dados for ímpar, a mediana será o valor de dados intermediário e se N for par, a mediana será a média dos dois valores de dados intermediários.
Exemplo 2
As alturas, em centímetros, de um grupo de 11 crianças de diferentes idades são as seguintes: 110, 105, 126, 65, 134, 102, 78, 80, 119, 67, 88. Qual é a altura mediana deste grupo de crianças ?
Solução para o Exemplo 2
Primeiro ordenamos os dados fornecidos da menor para a maior altura.
65 , 67 , 78 , 80 , 88 , 102 , 105 , 110 , 119 , 126 , 134
Há um total de 11 valores de dados e o do meio é a mediana e é igual a 102. Há perto de 50% dos valores de dados que são inferiores à mediana (102) e perto de 50% dos valores de dados superior à mediana.
Exemplo 3
Os pesos, em quilogramas, de um grupo de 12 homens são os seguintes: 110, 82, 99, 70, 77, 87, 78, 80, 102, 79, 88, 95. Qual é o peso médio deste grupo de homens?
Solução do Exemplo 3
Primeiro ordenamos os dados fornecidos do menor para o maior peso.
70 , 77 , 78 , 79 , 80 , 82 , 87 , 88 , 95 , 99 , 102 , 110 ,
Há um total de 12 valores de dados e a média dos dois valores de dados 82 e 87 no meio é a mediana e é igual a (82 + 87) / 2 = 84,5. Exatamente 50% dos valores dos dados são inferiores à mediana (84,5) e 50% dos valores dos dados são superiores à mediana.
Modo de um conjunto de dados
A moda de um conjunto de dados é o valor dos dados que ocorre com a maior frequência.
Exemplo 4
Em um exame, os alunos de uma turma pontuaram da seguinte forma: 45, 67, 95, 89, 88, 40, 90, 88, 56, 78, 88, 76. Qual é a moda das pontuações dadas?
Solução para o Exemplo 4
Primeiro ordenamos pontuações do menor para o maior peso.
40 , 45 , 56 , 67 , 76 , 78 , 88 , 88 , 88 , 89 , 90 , 95
Em seguida, procuramos o valor dos dados que mais ocorre, que neste exemplo é 88.
Exemplo 5
Um grupo de pessoas foi questionado sobre o número de irmãos e irmãs que eles têm e eles responderam o seguinte: 2, 3, 3, 4, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 2, 4, 2. Qual é o modo deste conjunto de dados?
Solução do Exemplo 5
Primeiro ordenamos os dados fornecidos do menor para o maior peso.
2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5
Existem três valores de dados que ocorrem quatro vezes cada e, portanto, têm a mesma frequência de ocorrência. Este conjunto de dados possui 3 modos que são: 2, 3 e 4.
A média, mediana e moda são medidas de tendência central
A Média, Mediana e Moda são quantidades de valor único que tendem a descrever o centro de um conjunto de dados. Para um conjunto de dados onde os valores dos dados estão próximos uns dos outros, as três quantidades tendem a ter valores próximos e descrever o valor central típico dos dados.
Exemplo 6
Um aluno obteve notas 89, 90, 92, 96,91, 93 e 92 em seus testes de matemática. Encontre a média, mediana e moda dessas pontuações.
Solução do Exemplo 6
média
mediana
Ordene os dados do menor para o maior
89, 90, 91, 92, 92, 93, 96
A mediana é o valor dos dados localizado no meio e é igual a 92.
Modo
89, 90, 91, 92, 92, 93, 96
A moda é o valor do dado que mais se repete e é igual a 92.
Para este conjunto de dados, podemos usar qualquer uma das três tendências centrais (média, mediana ou moda) para descrever um valor de dados central típico porque eles têm valores próximos. No entanto, nem sempre é esse o caso. Conjuntos de dados com valores discrepantes podem ter suas tendências centrais afetadas, conforme examinaremos os exemplos a seguir.
Outliers e seus efeitos nas medidas de tendências centrais
Outliers são valores extremamente baixos ou valores extremamente altos em um conjunto de dados. Eles podem afetar a média, mediana ou moda.
Exemplo 7
Um aluno obteve notas 0, 90, 88, 96, 92, 88 e 95 em seus testes de matemática. Responda às seguintes perguntas:
a) Qual pontuação pode ser considerada outlier?
b) Calcule a média, mediana e moda com e sem o outlier e tome uma decisão sobre qual tendência central descreve melhor uma pontuação central típica.
Solução do Exemplo 7
a) A pontuação mais baixa de 0 pode ser considerada um valor atípico porque é muito inferior à próxima pontuação mais alta de 88.
b) com o outlier 0, as pontuações são: 0, 90, 88, 96, 92, 88 e 95
média = 78,4, mediana = 90, moda = 88
Sem o outlier 0, as pontuações são: 90, 88, 96, 92, 88 e 95
média: = 91,5, mediana = 91, moda = 88
O outlier 0 tende a afetar a média, pois a diferença entre as médias com (78,4) e sem (91,5) outlier é relativamente grande e, portanto, a mediana e a moda descreveriam melhor uma pontuação típica deste aluno.
Dispersão de dados e seus efeitos nas medidas de tendências centrais
Os dados podem ser considerados dispersos se os valores dos dados estiverem longe do valor médio (média) de todo o conjunto de dados. As medidas de tendências centrais podem não ser suficientes ou, às vezes, adequadas para descrever um valor típico de dados centrais.
Exemplo 8
Uma turma obteve notas 96, 20, 20, 45, 40, 32, 97, 100, 98, 45, 90, 35 e 91 em um exame.
Calcule a média, mediana e moda para tomar uma decisão sobre qual medida de tendência central descreve melhor a pontuação central típica.
Solução do Exemplo 8
média = 62,2, mediana = 45, moda = 20
As pontuações estão muito dispersas, com algumas pontuações muito inferiores à média e outras pontuações superiores à média. Isto afetou muito o modo e, até certo ponto, o meadiano. A média, mediana e moda diferem em valores porque as pontuações estão dispersas com a menor pontuação de 20 e a maior pontuação de 100. A média pode, nesta situação, ser usada como medida de tendência central, mas a moda de 20 é definitivamente não é uma pontuação central típica.
O desvio padrão é uma medida da dispersão dos valores dos dados em torno da média.
Mais links e referências
