X é uma variável normalmente distribuída com média μ = 30 e desvio padrão σ = 4. Encontre as probabilidades
a) P(X < 40)
b) P(X> 21)
c) P(30 < X < 35)
Uma unidade de radar é usada para medir a velocidade dos carros em uma rodovia. As velocidades são normalmente distribuídas com média de 90 km/h e desvio padrão de 10 km/h. Qual é a probabilidade de um carro escolhido aleatoriamente estar viajando a mais de 100 km/h?
Para certos tipos de computadores, o intervalo de tempo entre as cargas da bateria é normalmente distribuído com média de 50 horas e desvio padrão de 15 horas. John possui um desses computadores e quer saber a probabilidade de que o período de tempo seja entre 50 e 70 horas.
O ingresso em uma determinada universidade é determinado por um teste nacional. As notas neste teste são normalmente distribuídas com média de 500 e desvio padrão de 100. Tom quer ser admitido nesta universidade e sabe que deve ter notas melhores do que pelo menos 70% dos alunos que fizeram o teste. Tom faz o teste e obtém nota 585. Ele será admitido nesta universidade?
O comprimento de componentes semelhantes produzidos por uma empresa é aproximado por um modelo de distribuição normal com média de 5 cm e desvio padrão de 0,02 cm. Se um componente for escolhido aleatoriamente
a) qual a probabilidade de o comprimento deste componente estar entre 4,98 e 5,02 cm?
b) Qual a probabilidade de o comprimento deste componente estar entre 4,96 e 5,04 cm?
O tempo de vida de um instrumento produzido por uma máquina tem distribuição normal com média de 12 meses e desvio padrão de 2 meses. Encontre a probabilidade de que um instrumento produzido por esta máquina dure
a) menos de 7 meses.
b) entre 7 e 12 meses.
O tempo necessário para montar um carro em uma determinada fábrica é uma variável aleatória com distribuição normal de 20 horas e desvio padrão de 2 horas. Qual é a probabilidade de um carro poder ser montado nesta fábrica em um período de tempo
a) menos de 19,5 horas?
b) entre 20 e 22 horas?
Um grande grupo de alunos fez uma prova de Física e as notas finais têm média 70 e desvio padrão 10. Se pudermos aproximar a distribuição dessas notas por uma distribuição normal, qual a porcentagem de alunos
a) obteve pontuação superior a 80?
b) Deve passar no teste (notas 60)?
c) Deverá ser reprovado no teste (notas<60)?
Os salários anuais dos funcionários de uma grande empresa têm distribuição aproximadamente normal, com média de US$ 50 000 e desvio padrão de US$ 20 000.
a) Qual a porcentagem de pessoas que ganham menos de US$ 40 000?
b) Qual a porcentagem de pessoas que ganham entre US$ 45 000 e US$ 65.000?
c) Qual a porcentagem de pessoas que ganham mais de US$ 70 000?
Soluções para os problemas acima
Nota: O que se entende aqui por área é a área sob a curva normal padrão.
a) Para x = 40, o valor z z = (40 - 30) / 4 = 2,5
Portanto P(x < 40) = P(z < 2,5) = [área à esquerda de 2,5] = 0,9938
b) Para x = 21, z = (21 - 30) / 4 = -2,25
Portanto P(x > 21) = P(z > -2,25) = [área total] - [área à esquerda de -2,25]
= 1 - 0,0122 = 0,9878
c) Para x = 30, z = (30 - 30) / 4 = 0 e para x = 35, z = (35 - 30) / 4 = 1,25
Portanto P(30 < x < 35) = P(0 < z < 1,25) = [área à esquerda de z = 1,25] - [área à esquerda de 0]
= 0,8944 - 0,5 = 0,3944
Seja x a variável aleatória que representa a velocidade dos carros. x tem μ = 90 e σ = 10. Temos que encontrar a probabilidade de x ser maior que 100 ou P(x > 100)
Para x = 100, z = (100 - 90) / 10 = 1
P(x > 90) = P(z > 1) = [área total] - [área à esquerda de z = 1]
= 1 - 0,8413 = 0,1587
A probabilidade de um carro selecionado aleatoriamente ter uma velocidade superior a 100 km/h é igual a 0,1587.
Seja x a variável aleatória que representa o período de tempo. Tem média de 50 e desvio padrão de 15. Temos que encontrar a probabilidade de x estar entre 50 e 70 ou P( 50< x < 70)
Para x = 50, z = (50 - 50) / 15 = 0
Para x = 70 , z = (70 - 50) / 15 = 1,33 (arredondado para 2 casas decimais)
P( 50< x < 70) = P( 0< z < 1,33) = [área à esquerda de z = 1,33] - [área à esquerda de z = 0]
= 0,9082 - 0,5 = 0,4082
A probabilidade de o computador de John ter um período de tempo entre 50 e 70 horas é igual a 0,4082.
Seja x a variável aleatória que representa as pontuações. x tem distribuição normal com média 500 e desvio padrão 100. A área total sob a curva normal representa o número total de alunos que fizeram o teste. Se multiplicarmos os valores das áreas sob a curva por 100, obtemos percentagens.
Para x = 585, z = (585 - 500) / 100 = 0,85
A proporção P de alunos com pontuação abaixo de 585 é dada por
P = [área à esquerda de z = 0,85] = 0,8023 = 80,23%
Tom teve pontuação melhor que 80,23% dos alunos que fizeram a prova e será admitido nesta Universidade.
a) P(4,98 < x < 5,02) = P(-1 < z < 1)
= 0,6826
b) P(4,96 < x < 5,04) = P(-2 < z < 2)
= 0,9544
a) P(x < 7) = P(z < -2,5)
= 0,0062
b) P(7 < x < 12) = P(-2,5 < z < 0)
= 0,4938
a) P(x < 19,5) = P(z < -0,25)
= 0,4013
b) P(20 < x < 22) = P(0 < z < 1)
= 0,3413
a) Para x = 80, z = 1
Área à direita (maior que) z = 1 é igual a 0,1586 = 15,87% marcou mais que 80.
b) Para x = 60, z = -1
A área à direita de z = -1 é igual a 0,8413 = 84,13% deve passar no teste.
c) 100% - 84,13% = 15,87% deverão falhar no teste.
a) Para x = 40.000, z = -0,5
A área à esquerda (menor que) de z = -0,5 é igual a 0,3085 = 30,85% ganham menos de US$ 40.000.
b) Para x = 45.000, z = -0,25 e para x = 65.000, z = 0,75
A área entre z = -0,25 e z = 0,75 é igual a 0,3720 = 37,20 ganhando entre US$ 45.000 e US$ 65.000.
c) Para x = 70.000, z = 1
A área à direita (acima) de z = 1 é igual a 0,1586 = 15,86% ganhando mais de $ 70.000.
