Problemas de estatística e probabilidade com soluções

São apresentados problemas sobre estatística e probabilidade. As soluções para esses problemas estão no final da página.

1. 
   Dado o conjunto de dados
   4 , 10 , 7 , 7 , 6 , 9 , 3 , 8 , 9
   Encontrar
   a) o modo,
   b) a mediana,
   c) a média,
   d) o desvio padrão amostral.
   e) Se substituirmos o valor dos dados 6 no conjunto de dados acima por 24, o desvio padrão aumentará, diminuirá ou permanecerá o mesmo?
   
   
2. 
   Encontre x e y para que o conjunto de dados ordenado tenha uma média de 42 e uma mediana de 35.
   17 , 22 , 26 , 29 , 34 , x , 42 , 67 , 70 , y
   
   
3. 
   Dado o conjunto de dados
   62 , 65 , 68 , 70 , 72 , 74 , 76 , 78 , 80 , 82 , 96 , 101,
   encontrar
   a) a mediana,
   b) o primeiro quartil,
   c) o terceiro quartil,
   d) o intervalo interquartil (IQR).
   
   
4. 
   As notas dos exames de 7 alunos são fornecidas abaixo.
   70 , 66 , 72 , 96 , 46 , 90 , 50
   Encontrar
   a) a média
   b) o desvio padrão da amostra
   
   
5. 
   Vinte e quatro pessoas fizeram exames de sangue e os resultados são mostrados abaixo.
   A , B , B , AB , AB , B , O , O , AB , O , B , A
   AB , A , O , O , AB , B , O , A , AB , O , B , A
   a) Construa uma distribuição de frequência para os dados.
   b) Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente de um grupo de vinte e quatro pessoas, qual é a probabilidade de seu tipo sanguíneo não ser O?
   
   
6. 
   Quando um dado é lançado e uma moeda (com cara e coroa) é lançada, encontre a probabilidade de obter
   a) Coroa e um número par,
   b) um número maior que 3,
   c) Caras ou um número ímpar,
   
   
7. 
   Uma caixa contém bolas vermelhas e verdes. O número de bolas verdes é 1/3 do número de bolas vermelhas. Se uma bola for retirada aleatoriamente da caixa, qual é a probabilidade de a bola ser vermelha?
   
   
8. 
   A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é dada na tabela abaixo
   

   x	P(X = x)
   0	0.24
   1	0.38
   2	0.20
   3	0.13
   4	0.05

   
   Encontre a média μ e o desvio padrão σ de X.
   
   
9. 
   Um comitê de 6 pessoas será formado a partir de um grupo de 20 pessoas. O comité tem de fazer com que o número de mulheres seja o dobro do número de homens. De quantas maneiras esse comitê pode ser formado se houver 12 homens?
   
   
10. 
    Calcule a média μ dos dados discretos fornecidos na tabela de frequência abaixo.

    x	1	2	3	4	5	6
    f	2	6	10	6	2	2

    
    
    
11. 
    As notas de um aluno em cinco testes são 36%, 78%, 67%, 88% e 98%. Os pesos para os cinco testes são 1, 2, 2, 3, 3 respectivamente. Encontre a média ponderada μ dos cinco testes.
    
    
12. 
    Em um grupo de 40 pessoas, 10 são saudáveis e cada pessoa das 30 restantes tem pressão alta, nível elevado de colesterol ou ambos. Se 15 têm pressão alta e 25 têm colesterol alto,
    a) quantas pessoas têm pressão alta e níveis elevados de colesterol?
    Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente desse grupo, qual é a probabilidade de ela
    b) tem pressão alta (evento A)?
    c) possui nível elevado de colesterol (evento B)?
    d) possui hipertensão arterial e nível elevado de colesterol (evento A e B)?
    e) tem pressão alta ou nível elevado de colesterol (evento A ou B)?
    f) Use o acima para verificar a fórmula de probabilidade: P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B).
    
    
13. 
    Um comitê de 5 pessoas será formado aleatoriamente a partir de um grupo de 10 mulheres e 6 homens. Encontre a probabilidade de que o comitê tenha
    a) 3 mulheres e 2 homens.
    a) 4 mulheres e 1 homem.
    b) 5 mulheres.
    c) pelo menos 3 mulheres.
    
    
14. 
    Numa escola, 60% dos alunos têm acesso à Internet em casa. Um grupo de 8 alunos é escolhido aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que
    a) exatamente 5 têm acesso à internet.
    b) pelo menos 6 alunos tenham acesso à internet.
    
    
15. 
    As notas de um grupo de 1000 alunos em uma prova têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10. Um aluno desse grupo é selecionado aleatoriamente.
    a) Encontre a probabilidade de sua nota ser maior que 80.
    b) Encontre a probabilidade de sua nota ser inferior a 50.
    c) Encontre a probabilidade de sua nota estar entre 50 e 80.
    d) Aproximadamente, quantos alunos têm notas superiores a 80?
    
    
16. 
    Num determinado país, no ano passado, foram reciclados um total de 500 milhões de toneladas de lixo. O gráfico abaixo mostra a distribuição, em milhões de toneladas, dos diferentes tipos de lixo.
    
    a) Quantas toneladas de Ferro/Aço foram recicladas?
    b) Qual a porcentagem do lixo reciclado era vidro?

Soluções para os problemas acima

1. 
   
   1. O conjunto de dados fornecido possui 2 modos: 7 e 9
   2. dados do pedido: 3 , 4 , 6 , 7 , 7 , 8 , 9 , 9 , 10 : mediana = 7
   3. (média): m = (3+4+6+7+7+8+9+9+10) / 9 = 7
   4. 
      

      x	x - m	(x - m)2
      4	-3	9
      10	3	9
      7	0	0
      7	0	0
      6	-1	1
      9	2	4
      3	-4	16
      8	1	1
      9	2	4
      		soma= 44

      
      desvio padrão da amostra ≈ 2,35 (arredondado para 2 casas decimais)
      
   5. O desvio padrão aumentará, pois 24 está mais distante dos outros valores de dados do que 6.
   
   
2. 
   x = 36 , y = 77
   
3. 
   
   1. mediana = 75
      
   2. primeiro quartil = 69
      
   3. terceiro quartil = 81
      
   4. intervalo interquartil = 81 - 69 = 12
   
   
4. 
   
   1. média = 70
      
   2. desvio padrão da amostra ≈ 18,6 (arredondado para 1 casa decimal)
   
   
5. 
   

   1. classe	frequência
      A	5
      B	6
      AB	6
      O	7

      
      
   2. 1 - (7/24) = 17/24 ≈ 0.71 (arredondado para 2 casas decimais)
   
   
6. 
   
   1. 3/12 = 1/4
   2. 6/12 = 1/2
   3. 3/4
   
   
7. 
   
   1. 3/4
   
   
   
8. 
   
   1. μ = Σ x P(X = x) = 0×0.24 + 1×0.38 + 2×0.20 + 3×0.13 + 4×0.05 = 1.37
      
   2. 1) usando definição
      σ = √[ Σ (x - μ)² P(X = x) ]
      = √[ (0-1.37)²×0.24 + (1-1.37)²×0.38 + (2-1.37)²×0.2 + (3-1.37)²×0.13 + (4-1.37)²×0.05 ]
      ≈ 1.13 (arredondado para 2 casas decimais)
      2) usando fórmula de computação
      σ = √[ Σ x² P(X = x) - μ² ]
      = √[ 0²×0.24 + 1²×0.38 + 2²×0.2 + 3²×0.13 + 4²×0.05 - 1.37²]
      ≈ 1.13 (arredondado para 2 casas decimais)
   
   
9. 
   
   1. If there 12 men, then there are 20 - 12 = 8 women.
      A comissão tem seis pessoas e o número de mulheres é o dobro do número de homens, portanto a comissão tem 4 mulheres e 2 homens.
      O número de maneiras de selecionar 4 mulheres entre 8 é dado por: ₈C₄ = 70.
      O número de maneiras de selecionar 2 homens entre 12 é dado por: ₁₂C₂ = 66.
      O número de seleção de 4 mulheres e 2 homens para formar o comitê é dado por:
      ₈C₄ × ₁₂C₂ = 70 × 66 = 4620
   
   
   
10. 
    
    1. μ = Σx_i × f_i / Σf_i
       Σx_i × f_i = 1×2 + 2×6 + 3×10 + 4×6 + 5×2 + 6×2 = 90
       Σf_i = 2 + 6 + 10 + 6 + 2 + 2 = 28
       μ = 90 / 28 ≈ 3.21 (arredondado para 2 casas decimais)
    
    
    
11. 
    
    1. Sejam as notas: x₁ = 36%, x₂ = 78%, x₃ = 67%, x₄ = 88%, x₅ = 98% e os respectivos pesos serão: w₁ = 1, w₂ = 2, w₃ = 2, w₄ = 3, w₅ = 3.
       A média ponderada= Σ x_i×w_i / Σ w_i
       Σ x_i×w_i = 36% × 1 + 78%×2 + 67%×2 + 88%×3 + 98%×3 = 884%
       Σ w_i = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11
       média ponderada = 884% / 11 = 80%
    
    
12. 
    
    1. 
       a) Seja x o número de pessoas com pressão alta e níveis elevados de colesterol. Portanto (15 - x) será APENAS o número de pessoas com pressão alta e (25 - x) será APENAS o número de pessoas com colesterol alto. Expressamos agora o fato de que o número total de pessoas apenas com pressão alta, apenas com colesterol alto e com ambos é igual a 30.
       (15 - x) + (25 - x) + x = 30
       resolver para x: x = 10
       b) 15 têm pressão alta, portanto P(A) = 15/40 = 0,375
       c) 25 têm nível elevado de colesterol, portanto P(B) = 25/40 = 0,625
       d) 10 têm ambos, portanto P(A e B) = 10/40 = 0,25
       e) 30 têm ambos, portanto P(A ou B) = 30/40 = 0,75
       f) P(A) + P(B) - P(A e B) = 0,375 + 0,625 - 0,25 = 0,75 = P(A ou B)
    
    
13. 
    
    1. 
       a) A seguir _nC_r = n! / [ (n - r)!r! ] e é o número de combinações de n objetos tomados r no momento e P(A) é a probabilidade de que mesmo A aconteça.
       Existem ₁₆C₅ maneiras de selecionar 5 pessoas (membros do comitê) de um total de 16 pessoas (homens e mulheres)
       Existem ₁₀C₃ maneiras de selecionar 3 mulheres entre 10.
       Existem ₆C₂ maneiras de selecionar 2 homens entre 6.
       Existem ₁₀C₃*₆C₂ maneiras de selecionar 3 mulheres entre 10 E 2 homens entre 6.
       P(3 mulheres E 2 homens) = ₁₀C₃*₆C₂ / ₁₆C₅ = 0,412087
       b) da mesma forma: P(4 mulheres E 1 homem) = ₁₀C₄*₆C₁ / ₁₆C₅ = 0,288461
       c) da mesma forma: P(5 mulheres) = ₁₀C₅*₆C₀ / ₁₆ C₅ = 0,0576923 (em ₆C₀ o 0 é para nenhum homem)
       d) P(pelo menos 3 mulheres) = P(3 mulheres ou 4 mulheres ou 5 mulheres)
       
       uma vez que os eventos "3 mulheres", "4 mulheres" e "5 mulheres" são todos mutuamente exclusivos, então
       P(pelo menos 3 mulheres) = P(3 mulheres ou 4 mulheres ou 5 mulheres) = P(3 mulheres) + P(4 mulheres) + P(5 mulheres)
       ≈ 0,412087 + 0,288461 + 0,0576923 ≈ 0,758240
       
    
    
14. 
    
    1. 
       a) Se um aluno for selecionado aleatoriamente e lhe for perguntado se tem ligação à Internet em casa, a resposta seria sim ou não e, portanto, trata-se de uma experiência binomial. A probabilidade do aluno responder sim é 60% = 0,6. Seja X o número de alunos que respondem sim quando 8 alunos são selecionados aleatoriamente e fazem a mesma pergunta. A probabilidade de X = 5 é dada pela fórmula de probabilidade binomial como segue:
       P(X = 5) = ₈C₅ (0,6)⁵ (1-0,6)³ = 0,278691
       b) P(X ≥ 6) = P(X = 6 or X = 7 or X = 8)
       Como todos os eventos X = 6, X = 7 e X = 8 são mutuamente exclusivos, então
       P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(x = 7) + P(X = 8)
       = ₈C₆ (0,6)⁶ (1-0,6)² + ₈C₇ (0,6)⁷ (1-0,6)¹ + ₈C_{8 (0,6)⁸ (1-0,6)⁰
       ≈ 0.315394}
    
    
15. 
    
    1. 
       a) x = 80 , z = (80 - 70)/10 = 1
       Probabilidade da nota ser superior a 80 = 1 - 0,8413 = 0,1587
       b) x = 50 , z = (50 - 70)/10 = -2
       Probabilidade da nota ser inferior a 50 = 0,0228
       c) Os escores z para x = 50 e x = 80 já foram calculados acima.
       Probabilidade da nota ficar entre 50 e 80 = 0,8413 - 0,0228 = 0,8185
       d) 0,1587 * 1000 &aprox; 159 (arredondado para a unidade mais próxima)
    
    
16. 
    
    1. 
       a) 500 - (170+90+60+50) = 130 toneladas de aço/ferro foram recicladas.
       b) 60/500 = 0,12 = 12% do total reciclado foi vidro.

More References and links