Fórmulas Utilizadas en la Calculadora
El plano (1) y el plano (2) tienen las siguientes ecuaciones
\( a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \)
y
\( a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \) respectivamente.
Los vectores normales \( \vec{n_1} \) y \( \vec{n_2} \) a los planos (1) y (2), definidos por sus ecuaciones, tienen como componentes:
\( \vec{n_1} = \lt a_1 , b_1 , c_1 \gt \)
\( \vec{n_2} = \lt a_2 , b_2 , c_2 \gt \)
El ángulo \( \alpha \) entre los dos planos es igual al ángulo entre los vectores normales \( \vec{n_1} \) y \( \vec{n_2} \), y su coseno está dado por:
\[
\large \color{red}{
\cos \alpha =
\dfrac{ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} }
{ |\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}| }
=
\dfrac{ a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 }
{ |\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}| }
}
\]
Las magnitudes \( |\vec{n_1}| \) y \( |\vec{n_2}| \) están dadas por:
\( |\vec{n_1}| = \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \)
\( |\vec{n_2}| = \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} \)
Use la función coseno inverso para expresar el ángulo \( \alpha \):
\[
\large \color{red}{
\alpha =
\arccos \left(
\dfrac{ a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 }
{ \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}
\cdot
\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }
\right)
}
\]