El plano (1) y el plano (2) tienen las siguientes ecuaciones \( \quad a_1 x + b_1 y + c_1 + d_1 = 0\) y \( \quad a_2 x + b_2 y + c_2 + d_2 = 0\) respectivamente.
Los vectores \( \vec {n_1} \) y \( \vec {n_2} \) normales a los planos (1) y (2) definidos por su ecuación anterior están dados por sus componentes como:
\( \vec {n_1} \; = \; \lt a_1 , b_1 , c_1 \gt \)
\( \vec {n_2} \; = \; \lt a_2 , b_2 , c_2 \gt \)
El ángulo \( \alpha \) entre los dos planos es igual al ángulo entre vectores \( \vec {n_1} \) y \( \vec {n_2} \) y su coseno viene dado por
\[ \large \color{red} {\cos \alpha = \dfrac{ \vec {n_1} \cdot \vec {n_2} }{| \vec {n_1} | \cdot | \vec {n_2} | } = \dfrac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 }{| \vec {n_1} | \cdot | \vec {n_2} | } } \] Las magnitudes \( | \vec {n_1} | \) y \( | \vec {n_2} | \) están dadas por
\( | \vec {n_1} | = \sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 } \)
\( | \vec {n_2} | = \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 } \)
Utilice la función coseno inversa para expresar el ángulo \( \alpha \) formado por los dos vectores como \[ \large \color{red} {\alpha = \arccos \left (\dfrac{ a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 }{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 } \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} } \right) } \]
