Funciones de Valor Absoluto: Definiciones, Gráficas y Ejercicios

Definiciones, Propiedades, Ecuaciones y Gráficas

La función de valor absoluto se explora mediante definiciones, ejemplos y ejercicios con soluciones al final de la página. La graficación de las funciones de valor absoluto \( |f(x)| \) se explica a través de ejemplos interactivos.

Definición de Valor Absoluto

Considera la recta numérica y un punto a una distancia \( x \) desde el origen cero de la recta numérica.

El valor absoluto de \( x \) escrito como \( |x| \) es la distancia desde cero hasta \( x \). Dado que \( |x| \) da una distancia, siempre es positivo o igual a cero. Por lo tanto:

\( |a - b| \) es la distancia entre los puntos en \( a \) y \( b \) en la recta numérica. Por ejemplo: \( |5 - 15| = |-10| = 10 \).


Definición Formal:

\[ |x| = \left\{ \begin{array}{ll} x & x\geq 0 \\ -x & x\lt 0 \\ \end{array} \right. \]

Lo cual se puede usar para escribir:

\[ |x - a| = \left\{ \begin{array}{ll} x - a & x\geq a \\ -(x - a) = a - x & x\lt a \\ \end{array} \right. \]

Valor Absoluto y Raíz Cuadrada

\( \sqrt{x^2} = |x| \) ; porque la raíz cuadrada es positiva o igual a cero.

\( \sqrt{(x - a)^2} = |x - a| \)

Propiedades de la Función de Valor Absoluto

  1. \( |x| \ge 0 \)
  2. \( \sqrt{x^2} = |x| \)
  3. \( |x| = |-x| \)
  4. \( |ab| = |a||b| \)
  5. \( \left| \dfrac{a}{b} \right| = \dfrac{|a|}{|b|} \), para \( b \ne 0 \)

Ecuaciones y Desigualdades con Valor Absoluto

Para \( k \ge 0 \):

  1. \( |x| = k \iff x = k \text{ o } x = -k \)
  2. \( |x| \le k \iff -k \le x \le k \)
  3. \( |x| \ge k \iff x \le -k \text{ o } x \ge k \)

Gráfica del Valor Absoluto de una Función

La función \( f(x) \) utilizada es una función cuadrática de la forma:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

La exploración se lleva a cabo cambiando los parámetros \( a \), \( b \) y \( c \) incluidos en \( f(x) \) usando el panel interactivo a continuación.

Tutorial Interactivo

a =
-10 +10
b =
-10 +10
c =
-10 +10

Guía de Exploración:

  1. Haz clic en el botón de arriba "Dibujar" para comenzar.
  2. Usa los controles deslizantes para establecer el parámetro \(a\) a cero, el parámetro \(b\) a cero y el parámetro \(c\) a un valor positivo; \( f(x) \) es una función constante. Compara la gráfica de \( f(x) \) en azul y la de \( h(x)= |f(x)| \) en rojo. Cambia \( c \) a un valor negativo y compara las gráficas nuevamente. Usa la definición de las funciones de valor absoluto para explicar cómo se puede obtener la gráfica de \( |f(x)| \) a partir de la gráfica de \( f(x) \).
  3. Mantén el valor de \( a \) igual a cero, selecciona valores distintos de cero para \( b \) para obtener una función lineal. ¿Cómo se puede obtener la gráfica de \( h(x) = |f(x)| \) a partir de la de \( f(x) \)?
    Pista: usa la definición de las funciones de valor absoluto y la reflexión de una gráfica en el eje x.
  4. Establece \( b \) y \( c \) en cero y selecciona un valor positivo para \( a \) para obtener una función cuadrática. ¿Por qué las dos gráficas son iguales? (Pista: usa la definición de las funciones de valor absoluto).
  5. Establece \( b \) y \( c \) en cero y selecciona un valor negativo para \( a \) para obtener una función cuadrática. ¿Por qué las dos gráficas son reflejo la una de la otra? (Pista: usa la definición de las funciones de valor absoluto y la reflexión de una gráfica en el eje x).
  6. Mantén los valores de \( a \) y \( b \) como en el paso 5 anterior y cambia gradualmente \( c \) de cero a algunos valores positivos. ¿Cómo se puede obtener la gráfica de \( h(x)=|f(x)| \) a partir de la de \( f(x) \)?
  7. Selecciona diferentes valores para \( a, b \) y \( c \) y explora.

Ejercicios

Parte 1: Evalúa las expresiones

  1. \( | - 9 | \)
  2. \( | 9 | \)
  3. \( | 2 - 6 | \)
  4. \( |- \dfrac{5}{2}| \)
  5. \( | 11 - 4^2 | \)
  6. \( 2^{| 2 - 7|} \)
  7. \( |2-19| - |9 - 20| \)
Ver Soluciones de la Parte 1
  1. \( | - 9 | = 9 \)
  2. \( | 9 | = 9 \)
  3. \( | 2 - 6 | = 4 \)
  4. \( |- \dfrac{5}{2}| = \dfrac{5}{2} \)
  5. \( | 11 - 4^2 | = 5 \)
  6. \( 2^{| 2 - 7|} = 32 \)
  7. \( |2-19| - |9 - 20| = 6 \)

Parte 2: Sustituye y evalúa las expresiones

  1. \( | x - 10 | + | 2 x | \) , para \( x = - 7 \)
  2. \( | - x | \) , para \( x = 8 \)
  3. \( \left |- \dfrac{|x - 2|}{|-x + 9|} \right | \) , para \( x = -20 \)
  4. \( | - 3 x - x^2 | \) , para \( x = -3 \)
  5. \( x^{| x - 7|} \) , para \( x = - 2 \)
Ver Soluciones de la Parte 2
  1. Para \( x = - 7 \), \( | x - 10 | + | 2 x | = 31 \)
  2. Para \( x = 8 \), \( | - x | = 8 \)
  3. Para \( x = - 20 \), \( \left |- \dfrac{|x - 2|}{|-x + 9|} \right | = \dfrac{22}{29} \)
  4. Para \( x = - 3 \), \( | - 3 x - x^2 | = 0 \)
  5. Para \( x = - 2 \), \( x^{| x - 7|} = - 512 \)

Parte 3: Simplifica las expresiones

  1. \( | a - b | \) para \( a = b \)
  2. \( | a - b | \) para \( a > b \)
  3. \( | a - b | \) para \( b > a \)
  4. \( \sqrt {3^2} \)
  5. \( \sqrt {(- 3)^2} \)
  6. \( \sqrt { (12 - 20)^2 } \)
  7. \( | x^2 | \)
  8. \( | (-x)^2 | \)
  9. \( | (x + 1)^2 | \)
  10. \( \sqrt{(x - y + z)^2} \)
  11. \( \sqrt{\sin^2(x)} \)
Ver Soluciones de la Parte 3
  1. \( | a - b | = 0 \)
  2. \( | a - b | = a - b \)
  3. \( | a - b | = b - a \)
  4. \( \sqrt {3^2} = |3| = 3 \)
  5. \( \sqrt {(- 3)^2} = |-3| = 3 \)
  6. \( \sqrt { (12 - 20)^2 } = 8 \)
  7. \( | x^2 | = x^2 \)
  8. \( | (-x)^2 | = x^2 \)
  9. \( | (x + 1)^2 | = (x + 1)^2 \)
  10. \( \sqrt{(x - y + z)^2} = |x - y + z| \)
  11. \( \sqrt{\sin^2(x)} = |\sin(x)| \)

Parte 4 y 5: Resuelve las Ecuaciones y Desigualdades

  1. \( |x - 2| = 4 \)
  2. \( |x + 5| = 0 \)
  3. \( |10 - x| = - 5 \)
  4. \( |x - 7| \gt 4 \)
  5. \( |x + 5| \lt 9 \)
  6. \( |x + 8| \lt - 5 \)
  7. \( |x + 8| \gt - 2 \)
Ver Soluciones de Ecuaciones y Desigualdades
  1. \( |x - 2| = 4 \) , dos soluciones: \( x = - 2 \) y \( x = 6 \)
  2. \( |x + 5| = 0 \) , una solución: \( x = - 5 \)
  3. \( |10 - x| = - 5 \) , sin soluciones reales.
  4. \( |x - 7| \gt 4 \) , conjunto solución: \( x \lt 3 \cup x \gt 11 \)
  5. \( |x + 5| \lt 9 \) , conjunto solución: \( -14 \lt x \lt 4 \)
  6. \( |x + 8| \lt - 5 \) , conjunto solución: \( \{\emptyset\} \)
  7. \( |x + 8| \gt - 2 \) , conjunto solución: {todos los números reales}

Parte 6: Gráficas

Dibuja los siguientes pares de funciones en el mismo sistema de ejes y explica las similitudes y diferencias de las dos gráficas.

  1. \( f(x) = x - 1 \quad , \quad h(x) = |f(x)| \)
  2. \( f(x) = x^2 - 4 \quad , \quad h(x) = |f(x)| \)
  3. \( f(x) = \sin(x) \quad , \quad h(x) = |\sin(x)| \)
Ver Soluciones de Gráficas

  1. \( f(x) = x - 1 \quad , \quad h(x) = |f(x)| = |x - 1| \)

    Para \( x - 1 \ge 0 \) o \( x \ge 1 \), \( h(x) = | x - 1 | = x - 1 \) y por lo tanto tenemos \( h(x) = f(x) \), lo cual se puede ver claramente en las gráficas.

    Para \( x - 1 \lt 0 \) o \( x \lt 1 \) , \( h(x) = |x - 1| = - (x - 1) = - f(x) \).

    Por lo tanto, para \( x \lt 1 \), \( h(x) = - f(x) \) lo que significa que la gráfica de \( h \) es una reflexión de la gráfica de \( f \) en el eje x y esto se puede ver claramente en las gráficas.

    graph of f(x) = x - 1 and h(x) = |x - 1|

  2. \( f(x) = x^2 - 4 \quad , \quad h(x) = |f(x)| = |x^2 - 4| \)

    Para \( x^2 - 4 \le 0 \) o \( -2 \le x \le 2 \), \( h(x) = |(x^2 - 4)| = - (x^2 - 4) = - f(x) \). Por lo tanto, en el intervalo \( -2 \le x \le 2 \), la gráfica de \( h \) es una reflexión de la gráfica de \( f \). Fuera de este intervalo, las dos gráficas coinciden.

    graph of f(x) = x^2 - 4 and h(x) = |x^2 - 4|

  3. \( f(x) = \sin(x) \quad , \quad h(x) = |\sin(x)| \)

    En los intervalos \( -2\pi \) a \( -\pi \), \( 0 \) a \( \pi \), \( 2\pi \) a \( 3\pi \), ... \( \sin(x) \ge 0 \) y \( h(x) = \sin(x) = f(x) \) por lo tanto, las gráficas de \( h \) y \( f \) coinciden.

    Para intervalos \( -\pi \) a \( 0 \), \( \pi \) a \( 2\pi \) ... \( \sin(x) \lt 0 \), \( h(x) = | \sin(x) | = - \sin(x) \) y la gráfica de \( h \) es una reflexión de la gráfica de \( f \) en el eje x.

    graph of f(x) = sin(x) and h(x) = |sin(x)|

Conclusión: En los tres ejercicios anteriores, la gráfica de \( h \) está en o por encima del eje x porque \( h(x) = |f(x)| \) y el valor absoluto es positivo o igual a 0.

Más Referencias y Enlaces