Funciones de Valor Absoluto

La función de valor absoluto se explora a través de definiciones, ejemplos y ejercicios con soluciones al final de la página. Se discute la graficación de funciones de valor absoluto |f(x)| mediante ejemplos.

Definición de Valor Absoluto

Valor Absoluto y Raíz Cuadrada

Propiedades de la Función de Valor Absoluto

1. \( | x | \ge 0 \)
2. \( \sqrt{ x^2} = | x | \)
3. \( | x | = | - x | \)
4. \( | a b | = | a || b | \)
5. \( \left | \dfrac{a}{b} \right | = \dfrac{|a|}{|b|} , b \ne 0\)

Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto

1. \( | x | = k \iff x = k \text{ o } x = - k \)
2. \( | x | \le k \iff - k \le x \le k \)
3. \( | x | ≥ k \iff x \le - k \text{ o } x \ge k \)

Gráfica del Valor Absoluto de una Función

1. Haz clic en el botón de arriba "draw" para comenzar.
   
2. Usa los deslizadores para establecer el parámetro a en cero, el parámetro b en cero y el parámetro c en un valor positivo; \( f(x)\) será una función constante. Compara el gráfico de f(x) en azul y el de \( h(x)= |f(x)| \) en rojo. Cambia c a un valor negativo y compara los gráficos nuevamente. Utiliza la definición de las funciones de valor absoluto para explicar cómo se puede obtener el gráfico de \( |f(x)| \) a partir del gráfico de \( f(x)\).
   
3. Mantén el valor de a igual a cero, selecciona valores no nulos para b para obtener una función lineal. ¿Cómo se puede obtener el gráfico de \( h(x) = |f(x)|\) a partir del de \( f(x)\)?
   Pista: usa la definición de las funciones de valor absoluto y reflexión de un gráfico sobre el eje x.
   
4. Establece b y c en cero y selecciona un valor positivo para a para obtener una función cuadrática. ¿Por qué los dos gráficos son iguales? (Pista: usa la definición de las funciones de valor absoluto).
   
5. Establece b y c en cero y selecciona un valor negativo para a para obtener una función cuadrática. ¿Por qué los dos gráficos son reflejos uno del otro? (Pista: usa la definición de las funciones de valor absoluto y la reflexión de un gráfico sobre el eje x).
   
6. Mantén los valores de a y b como en el punto 5 anterior y cambia gradualmente c de cero a algunos valores positivos. ¿Cómo se puede obtener el gráfico de \( h(x)=|f(x)|\) a partir del de \( f(x)\)?
   
7. Selecciona diferentes valores para a, b y c y explora.
   

Ejercicios

1. | - 9 |
   
2. | 9 |
   
3. | 2 - 6 |
   
4. \( |- \dfrac{5}{2}| \)
   
5. \( | 11 - 4^2 | \)
   
6. \( 2^{| 2 - 7|} \)
   
7. \( |2-19| - |9 - 20| \)

1. | x - 10 | + | 2 x | , x = - 7
   
2. | - x | , x = 8
   
3. \( \left |- \dfrac{|x - 2|}{|-x + 9|} \right | \) , x = -20
   
4. \( | - 3 x - x^2 | \) , x = -3
   
5. \( x^{| x - 7|} \) , x = - 2

1. | a - b | para a = b
   
2. | a - b | para a > b
   
3. | a - b | para b > a
4. \( \sqrt {3^2} \)
5. \( \sqrt {(- 3)^2} \)
6. \( \sqrt { (12 - 20)^2 } \)
7. \( | x^2 | \)
8. \( | (-x)^2 | \)
9. \( | (x + 1)^2 | \)
10. \( \sqrt{(x - y + z)^2} \)
11. \( \sqrt{sin^2(x)} \)

1. \( |x - 2| = 4 \)
2. \( |x + 5| = 0 \)
3. \( |10 - x| = - 5 \)

1. \( |x - 7| \gt 4 \)
2. \( |x + 5| \lt 9 \)
3. \( |x + 8| \lt - 5 \)
4. \( |x + 8| \gt - 2 \)

1. \( f(x) = x - 1 , h(x) = |f(x)| \)
   
2. \( f(x) = x^2 - 4 , h(x) = |f(x)| \)
   
3. \( f(x) = \sin(x) , h(x) = |\sin(x)| \)

Soluciones a los Ejercicios Anteriores
Parte 1
Evalúa las expresiones

1. | - 9 | = 9
   
2. | 9 | = 9
   
3. | 2 - 6 | = 4
   
4. \( |- \dfrac{5}{2}| = \dfrac{5}{2} \)
   
5. \( | 11 - 4^2 | = 5 \)
   
6. \( 2^{| 2 - 7|} = 32 \)
   
7. \( |2-19| - |9 - 20| = 6 \)

1. Para x = - 7, | x - 10 | + | 2 x | = 31
   
2. Para x = 8 , | - x | = 8
   
3. Para x = - 20 , \( \left |- \dfrac{|x - 2|}{|-x + 9|} \right | = \dfrac{22}{29}\)
   
4. Para x = - 3 , \( | - 3 x - x^2 | = 0 \)
   
5. Para x = - 2 , \( x^{| x - 7|} = - 512\)

1. | a - b | = 0
   
2. | a - b | = a - b
   
3. | a - b | = b - a
4. \( \sqrt {3^2} = |3| = 3 \)
5. \( \sqrt {(- 3)^2} = |-3| = 3 \)
6. \( \sqrt { (12 - 20)^2 = 8} \)
7. \( | x^2 | = x^2\)
8. \( | (-x)^2 | = x^2\)
9. \( | (x + 1)^2 | = (x + 1)^2 \)
10. \( \sqrt{(x - y + z)^2} = |x - y + z|\)
11. \( \sqrt{sin^2(x)} = |sin(x)| \)

1. \( |x - 2| = 4 \) , dos soluciones: x = - 2 y x = 6
2. \( |x + 5| = 0 \) , una solución: x = - 5
3. \( |10 - x| = - 5 \) , sin soluciones reales.

1. \( |x - 7| \gt 4 \) , conjunto solución: x < 3 ∪ x > 11
2. \( |x + 5| \lt 9 \) , conjunto solución: -14 < x < 4
3. \( |x + 8| \lt - 5 \) , conjunto solución: {∅}
4. \( |x + 8| \gt - 2 \) , conjunto solución: {todos los números reales}

1. \( f(x) = x - 1 , h(x) = |f(x)| = |x - 1| \)
   Para x - 1 ≥ 0 o x ≥ 1, h(x) = | x - 1 | = x - 1 y por lo tanto h(x) = f(x) lo que se puede ver claramente en los gráficos.
   Para x - 1 < 0 o x < 1 , h(x) = |x - 1| = - (x - 1) = - f(x).
   Por lo tanto para x < 1 h(x) = - f(x) lo que significa que el gráfico de h es una reflexión del gráfico de f sobre el eje x y esto se puede ver claramente en los gráficos.
   
   
   
   
2. \( f(x) = x^2 - 4 , h(x) = |f(x)| = |x^2 - 4| \)
   Para x² - 4 ≤ 0 o -2 ≤ x ≤ 2 , h(x) = |(x² - 4)| = - (x² - 4) = - f(x) . Por lo tanto, en el intervalo -2 ≤ x ≤ 2, el gráfico de h es una reflexión del gráfico de f. Fuera de este intervalo, los dos gráficos coinciden.
   
   
   
   
3. \( f(x) = \sin(x) , h(x) = |\sin(x)| \)
   En los intervalos -2π a -π , 0 a π , 2π a 3π, ... sin(x) ≥ 0 y h(x) = sin(x) = f(x) por lo tanto los gráficos de h y f coinciden.
   Para los intervalos - π a 0 , π a 2π ... sin(x) < 0 , h(x) = | sin(x) | = - sin(x) y el gráfico de h es una reflexión del gráfico de f sobre el eje x.
   
   
   

Más Referencias y Enlaces