Números Complejos
Solución al Problema 1-1
El conjugado de z está dado por
\[ z* = 2 + 3 i \]Por lo tanto
\[ z z* = (2 - 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13 \]Solución al Problema 1-2
Multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador 2 + i:
\[ \dfrac{1-i}{2-i} = \dfrac{(1-i)(2 + i)}{(2-i)(2 + i)}\]Simplifica:
\[ = 3 / 5 - (1 / 5) i \]Ecuaciones Cuadráticas
Solución al Problema 2-1
Expande y escribe la ecuación en forma estándar:
\[ x^2 + 3x + 5 = 0\]Encuentra el discriminante \( \Delta \):
\[ \Delta = b^2 - 4 a c = (3)^2 - 4(1)(5) = -11\]El discriminante es negativo y por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones complejas dadas por la fórmula cuadrática:
\[ x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} = \dfrac{-3+i\sqrt{11}}{2} = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{11}}{2} i \] \[ x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} = \dfrac{-3-i\sqrt{11}}{2} = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{11}}{2} i \]Solución al Problema 2-2
Escribe la ecuación cuadrática dada en forma estándar y encuentra el discriminante:
\[ -2 x^2 + m x - 2 m =0\] \[ \Delta = b^2 - 4 a c = m^2 - 4(-2)(-2m) = m^2 - 16 m \]Para que una ecuación cuadrática tenga dos soluciones complejas, su discriminante debe ser negativo. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad \( \Delta \lt 0\):
\[ m^2 - 16 m \lt 0 \]La solución de la desigualdad anterior es el intervalo:
\[ (0 , 16) \]Los valores de m para los cuales la ecuación dada tiene dos números complejos son todos los valores en el intervalo \( (0 , 16) \).
Funciones
Solución al Problema 3-1
Para evaluar \( f(a-1)\) sustituimos \( x \) por \( a - 1 \) en \( f(x) \). Por lo tanto:
\[ f(a-1) = - (a-1)^2 + 3((a-1) - 1) \]Expande y simplifica:
\[ f(a-1) = -a^2+5a-7 \]Solución al Problema 3-2
El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales para los cuales f(x) tiene valores reales. Para que una raíz cuadrada sea real, el radicando debe ser no negativo. Por lo tanto, es necesario resolver la desigualdad:
\[ x^2-16 \ge 0 \]El conjunto solución de la desigualdad anterior, que es el dominio de f, está dado por:
\[ (-\infty , -4] \cup [4 , +\infty) \]Solución al Problema 3-3
Una forma de encontrar el rango de la función cuadrática dada es reescribirla en forma canónica completando el cuadrado:
\[ f(x) = - x^2 - 2x + 6 = - (x^2 + 2x) + 6 = -((x + 1)^2 - 1) + 6 = - (x + 1)^2 + 7\]La gráfica de la función cuadrática dada es una parábola que se abre hacia abajo y con vértice en el punto (-1,7). Por lo tanto, el rango está dado por el intervalo:
\[ (-\infty , 7] \]Solución al Problema 3-4
\( (f \circ g)(x) \) es la composición de dos funciones y está dada por:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]Por lo tanto:
\[ (f \circ g)(a - 1) = f(g(a-1)) = f((a-1)^2 + 2) = \sqrt{(a-1)^2 + 2 - 2} = \sqrt{(a-1)^2}= |a-1|\]Dado que \( a \lt 1 \) es equivalente a \( a - 1 \lt 0 \), la respuesta final se puede simplificar a:
\[ (f \circ g)(a - 1) = |a-1| = - (a - 1) = - a + 1 \]Solución al Problema 3-5
Las funciones en las partes a), b), c) son funciones pares y por lo tanto no son funciones uno a uno.
La función en la parte e) no es uno a uno porque es periódica.
Demostremos algebraicamente que las funciones en las partes d) y f) son funciones uno a uno usando el contrarrecíproco de la definición de funciones uno a uno: La función f es uno a uno si:
\[ f(a) = f(b) \implies a = b \]Para la función j en la parte d); escribe la ecuación \( j(a) = j(b) \):
\[ 1/a + 2 = 1/b + 2 \]Resuelve para a:
\[ a = b \]Por lo tanto, j(x) en la parte d) es uno a uno.
Para la función l en la parte f); escribe la ecuación \( l(a) = l(b) \):
\[ \ln(a-1) + 1 = \ln(b-1)+1 \]Resuelve para a:
\[ \ln(a-1) = \ln(b-1) \]ln(x) es una función uno a uno, por lo tanto:
\[ a - 1 = b - 1 \] \[ a = b \]Por lo tanto, l(x) en la parte f) es uno a uno.
Solución al Problema 3-6
Escribe la función dada como una ecuación con y = f(x):
\[ y = \dfrac{-x+2}{x-1} \]Ahora necesitamos resolver la ecuación anterior para x. Multiplica en cruz para obtener:
\[ y (x - 1) = (-x + 2) \]Expande:
\[ yx - y = - x + 2 \]Suma x e y a ambos lados y simplifica:
\[ y x + x = 2 + y \]Factoriza x en el lado izquierdo:
\[ x(y + 1) = 2 + y \]Resuelve para x:
\[ x = \dfrac{2 + y}{y + 1} \]Intercambia x e y:
\[ y = \dfrac{2 + x}{x + 1} \]La inversa de f está dada por:
\[ f^{-1}(x) = \dfrac{2 + x}{x + 1} \]Solución al Problema 3-7
La función \( f \) es par si \( f(x) = f(-x) \) e impar si \( f(x) = - f(-x) \).
Calculemos f(-x), g(-x) y h(-x) y comparémoslas con f(x), g(x) y h(x) respectivamente:
\[ f(-x) = - (-x)^3 = x^3 = - f(x) \]por lo tanto f es impar:
\[ g(-x) = |- x|+ 2 = |x| + 2 = g(x) \]por lo tanto g es par:
\[ h(-x) = \ln( - x - 1) \]h(-x) no es igual ni a h(x) ni a -h(x), por lo tanto, la función no es ni par ni impar.
Solución al Problema 3-8
La función f tiene un cero en \( x = -2 \), por lo tanto:
\[ f(-2) = 0 \]Por lo tanto, la función \( 2f(2x - 5) \) tiene un cero cuando:
\[ 2x - 5 = 0 \]Resolviendo para \( x \):
\[ x = \frac{5}{2} \]Solución al Problema 3-9
Verificando el intervalo de definición de las diferentes partes de cada función, la función g en la parte b) tiene intervalos y fórmulas que corresponden a la gráfica dada.
Solución al Problema 3-10
La definición de la tasa de cambio promedio (TCP) de una función \( f \) cuando \( x \) cambia de \( x = a \) a \( x = a + h \) está dada por:
\[ \text{TCP} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} \]Simplifica:
\[ = \dfrac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \dfrac{1}{h}\!\left(\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}\right) = \dfrac{-1}{a(a+h)} \]Polinomios
Solución al Problema 4-1
Usa la división larga para reescribir la división como:
\[ \dfrac{-x^4 + 2x^3 - x^2 + 5}{x^2 - 2} = -x^2 + 2x - 3 + \frac{4x - 1}{x^2 - 2} \]Luego identifica el cociente \(Q\) y el resto \(R\) como:
\[ Q = -x^2 + 2x - 3, \qquad R = 4x - 1 \]Solución al Problema 4-2
Usa la división larga para reescribir la división como:
\[ \dfrac{4x^2 + 2x - 3}{2x + k} = Q(x) + \dfrac{R}{2x + k} \]que también se puede escribir como:
\[ 4x^2 + 2x - 3 = (2x + k)Q(x) + R \]Sustituye \(x = -\dfrac{k}{2}\) en la expresión anterior para obtener:
\[ 4\left(-\dfrac{k}{2}\right)^2 + 2\left(-\dfrac{k}{2}\right) - 3 = \left(2\left(-\dfrac{k}{2}\right) + k\right) Q\!\left(-\dfrac{k}{2}\right) + R \]Expande y simplifica, teniendo en cuenta que el término \( \left(2\left(-\dfrac{k}{2}\right) + k\right) Q\!\left(-\dfrac{k}{2}\right) \) es igual a cero:
\[ k^2 - k - 3 = R \]Sustituye \(R = -1\) (dado) y resuelve para \(k\):
\[ k^2 - k - 2 = 0 \]La ecuación anterior tiene dos soluciones:
\[ k = 2 \quad \text{y} \quad k = -1 \]Solución al Problema 4-3
Dado que \( (x - 2) \) es un factor de \( p(x) \), entonces:
\[ p(x) = (x - 2) Q(x) \]\( Q(x) \) se obtiene por división:
\[ Q(x) = \dfrac{p(x)}{x - 2} = -2x^3 - 12x^2 - 22x - 12 = -2(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \]Ahora necesitamos factorizar \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \) usando el Teorema de la Raíz Racional.
Los factores del término constante 6 son \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \), y los factores del coeficiente principal 1 son \( \pm 1 \).
Las posibles soluciones están dadas por las proporciones de los factores de 6 y los factores del coeficiente principal 1:
\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]Podemos verificar fácilmente que \( x = -1 \) es un cero de \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \); por lo tanto:
\[ x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)Q'(x) \]Usando la división obtenemos:
\[ Q'(x) = \dfrac{x^3 + 6x^2 + 11x + 6}{x + 1} = x^2 + 5x + 6 \]El polinomio cuadrático \( x^2 + 5x + 6 \) ahora se puede factorizar fácilmente como:
\[ Q'(x) = x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]Ahora factorizamos \( p(x) \) empezando desde el principio:
\[ \begin{aligned} p(x) &= (x - 2)Q(x) \\ &= -2(x - 2)(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \\ &= -2(x - 2)(x + 1)Q'(x) \\ &= -2(x - 2)(x + 1)(x + 2)(x + 3) \end{aligned} \]Solución al Problema 4-4
Usa la diferencia de dos cuadrados para factorizar:
\[ 16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \]El término \( 4x^2 - 9 \) es una diferencia de dos cuadrados, pero necesitamos escribir \( 4x^2 + 9 \) como una diferencia de dos cuadrados usando la unidad imaginaria \( i \):
\[ (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (4x^2 - 9)\bigl(4x^2 - (3i)^2\bigr) \]Factoriza nuevamente usando la diferencia de dos cuadrados:
\[ 16x^4 - 81 = (2x - 3)(2x + 3)(2x - 3i)(2x + 3i) \]Solución al Problema 4-5
Reescribe la ecuación con el lado derecho igual a cero:
\[ (x - 3)(x^2 - 4) - (-x + 3)(x^2 + 2x) = 0 \]Factoriza \( (x - 3) \):
\[ (x - 3)(x^2 - 4 + x^2 + 2x) = 0 \]Agrupa:
\[ (x - 3)(2x^2 + 2x - 4) = 0 \]Resuelve las dos ecuaciones:
\[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] \[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \text{ o } x = -2 \]El conjunto solución de la ecuación dada es:
\[ \{-2,\, 1,\, 3\} \]Solución al Problema 4-6
Reescribe la desigualdad con el lado derecho igual a cero:
\[ (x + 2)(x^2 - 4x - 5) - (-x - 2)(x + 1)(x - 3) \ge 0 \]Factoriza \( (x + 2) \):
\[ (x + 2)\bigl((x^2 - 4x - 5) + (x + 1)(x - 3)\bigr) \ge 0 \]Factoriza \( x^2 - 4x - 5 \):
\[ x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) \]Sustituye de nuevo:
\[ (x + 2)\bigl((x + 1)(x - 5) + (x + 1)(x - 3)\bigr) \ge 0 \]Factoriza completamente:
\[ (x + 2)(x + 1)(2x - 8) \ge 0 \]La expresión tiene tres ceros: \( -2, -1, 4 \).
Estos dividen la recta numérica en cuatro intervalos:
\[ (-\infty, -2],\; [-2, -1],\; [-1, 4],\; [4, \infty) \]Usando valores de prueba o una tabla de signos, el conjunto solución de la desigualdad es:
\[ [-2, -1] \cup [4, \infty) \]Solución al Problema 4-7
La gráfica es la de un polinomio de grado impar con coeficiente principal negativo, por lo tanto, la función en la parte b) no puede ser la respuesta correcta.
Las funciones en las partes a), c) y d) tienen el mismo cero en \( x = 1 \) de multiplicidad 2.
La ecuación en la parte a) tiene un segundo cero en \( x = -2 \) de multiplicidad 5, pero su intersección con el eje y es igual a \(-32\), que es diferente de la intersección con el eje y \(-4\) de la gráfica mostrada, por lo tanto, no puede ser la respuesta correcta.
Las ecuaciones en las partes c) y d) tienen cada una un segundo cero en \( x = -2 \) de multiplicidad 3, pero la intersección con el eje y en la parte d) es igual a \(-8\) y por lo tanto no puede ser la respuesta correcta.
La ecuación en la parte c) tiene una intersección con el eje y igual a \(-4\) y por lo tanto es la respuesta correcta.
Solución al Problema 4-8
La función dada tiene un cero real en \( x = 1 \) y por lo tanto su gráfica tiene solo una intersección con el eje x en \( x = 1 \). Por lo tanto, las gráficas a) (verde) y b) (azul) no pueden ser la respuesta correcta.
Dado que \( k \) es negativo, la gráfica d) (negra) no puede ser la respuesta, y la única respuesta posible es la gráfica c) (roja).
Si la gráfica c) es una posible solución con intersección con el eje y igual a 4, entonces:
\[ f(0) = 4 \]Simplifica y resuelve la ecuación \( f(0) = 4 \) para \( k \):
\[ k(0 - 1)(0^2 + 4) = 4 \] \[ k = -1 \]Expresiones, Ecuaciones, Desigualdades y Funciones Racionales
Solución al Problema 5-1
Pon todos los términos al mismo denominador:
\[ \dfrac{x^2 + 3x - 5}{(x - 1)(x + 2)} - \dfrac{2}{x + 2} - 1 = \dfrac{x^2 + 3x - 5}{(x - 1)(x + 2)} - \dfrac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} - \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} \]Suma y simplifica:
\[ = \dfrac{x^2 + 3x - 5 - 2(x - 1) - (x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{-1}{(x - 1)(x + 2)} \]Solución al Problema 5-2
Comenzamos indicando que \( x = 1 \) y \( x = -2 \) no pueden ser soluciones porque estos valores hacen que el denominador sea cero.
Multiplica todos los términos de la ecuación por \( (x - 1)(x + 2) \) para eliminar el denominador:
\[ \dfrac{-x^2 + 5}{x - 1}(x - 1)(x + 2) = \dfrac{x - 2}{x + 2}(x - 1)(x + 2) - 4(x - 1)(x + 2) \]Simplifica:
\[ (-x^2 + 5)(x + 2) = (x - 2)(x - 1) - 4(x - 1)(x + 2) \]Escribe la ecuación con cero en el lado derecho:
\[ (-x^2 + 5)(x + 2) - (x - 2)(x - 1) + 4(x - 1)(x + 2) = 0 \]Expande y agrupa el lado izquierdo:
\[ -x^3 + x^2 + 12x = 0 \]Factoriza el lado izquierdo:
\[ -x(x + 3)(x - 4) = 0 \]Resuelve:
Conjunto solución: \( \{-3, 0, 4\} \)
Solución al Problema 5-3
Comenzamos indicando que \( x = 1 \) y \( x = -1 \) no pueden incluirse en el conjunto solución porque estos valores hacen que el denominador sea cero.
Reescribe la desigualdad con el lado derecho igual a cero:
\[ \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{3}{x^2 - 1} \ge 0 \]Pon todos los términos al mismo denominador:
\[ \dfrac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \dfrac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} - \dfrac{3}{(x - 1)(x + 1)} \ge 0 \]Agrupa los términos en el lado izquierdo:
\[ \dfrac{2x - 3}{(x - 1)(x + 1)} \ge 0 \]Los ceros del numerador y denominador son:
\[ -1,\; 1,\; \dfrac{3}{2} \]Dividen la recta numérica en cuatro intervalos:
\[ (-\infty, -1),\; (-1, 1),\; (1, \tfrac{3}{2}],\; [\tfrac{3}{2}, +\infty) \]Usando valores de prueba o una tabla de signos, el conjunto solución es:
\[ (-1, 1) \cup \left[\tfrac{3}{2}, +\infty\right) \]Solución al Problema 5-4
Agrupa los términos en el lado derecho para reescribir la función dada como una razón de dos polinomios:
\[ y = \dfrac{3x^2}{5x^2 - 2x - 7} + 2 = \dfrac{3x^2 + 2(5x^2 - 2x - 7)}{5x^2 - 2x - 7} = \dfrac{13x^2 - 4x - 14}{5x^2 - 2x - 7} \]El grado del numerador y el denominador son iguales; por lo tanto, la asíntota horizontal es la razón de los coeficientes principales:
\[ y = \dfrac{13}{5} \]Las asíntotas verticales están dadas por los ceros del denominador:
\[ 5x^2 - 2x - 7 = 0 \]Resolviendo se obtienen las asíntotas verticales:
\[ x = -1 \quad \text{y} \quad x = \dfrac{7}{5} \]Solución al Problema 5-5
La función racional en la parte c) tiene grado del numerador 3 y del denominador 2, por lo tanto, tiene una asíntota oblicua. La asíntota oblicua es el cociente de la división del numerador por el denominador de la función racional dada:
\[ y = -\dfrac{x^3 + 2x^2 - 1}{x^2 - 2} = -(x + 2) - \dfrac{2x + 3}{x^2 - 2} \]La asíntota oblicua tiene la ecuación:
\[ y = -(x + 2) \]El punto de intersección se encuentra resolviendo:
\[ -\dfrac{x^3 + 2x^2 - 1}{x^2 - 2} = -(x + 2) \]La ecuación anterior tiene una solución dada por:
\[ x = -\dfrac{3}{2} \]Ahora calculamos \(y\) sustituyendo \(x = -\dfrac{3}{2}\) en la ecuación de la función o en la asíntota oblicua:
\[ y = -\left(-\dfrac{3}{2} + 2\right) = -\dfrac{1}{2} \]El punto de intersección es:
\[ \left(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \]Solución al Problema 5-6
La función dada se puede reescribir como:
\[ f(x) = \dfrac{2x - 2}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1)}{x - 1} = 2, \quad x \ne 1 \]Suponiendo que la gráfica tiene un agujero en \(x = 1\), la gráfica correcta es d) (roja).
Trigonometría y Funciones Trigonométricas
Solución al Problema 6-1
Cada rotación corresponde a un ángulo de \(2\pi\) radianes. Para 1000 rotaciones:
\[ 1000 \times 2\pi = 2000\pi \]radianes se rotan en un minuto. Dado que hay 60 segundos en un minuto, la rueda rota:
\[ \dfrac{2000\pi}{60} \approx 104.7 \]radianes por segundo.
Solución al Problema 6-2
El valor absoluto del ángulo es mayor que \(2\pi\); por lo tanto, lo reescribimos como la suma de un ángulo especial y un múltiplo de \(2\pi\):
\[ \sec\!\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right) = \sec\!\left(-\dfrac{12\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sec(-4\pi + \dfrac{\pi}{3}) \]Simplificando:
\[ = \sec\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{\cos(\pi/3)} = \dfrac{1}{1/2} = 2 \]Solución al Problema 6-3
Dado que \(180^\circ = \pi\) radianes:
\[ 1200^\circ = \dfrac{1200\pi}{180} = \dfrac{20\pi}{3} \]Solución al Problema 6-4
Dado que \(180^\circ = \pi\) radianes:
\[ -\dfrac{7\pi}{9} = \dfrac{-7\pi}{9} \times \dfrac{180}{\pi} = -140^\circ \]Solución al Problema 6-5
Comenzamos con el rango de la función seno \(-2\sin(-0.5(x - \pi/5))\), que tiene amplitud 2:
\[ -2 \le -2\sin(-0.5(x - \pi/5)) \le 2 \]Sumando \(-6\) a todas las partes obtenemos:
\[ -8 \le -2\sin(-0.5(x - \pi/5)) - 6 \le -4 \]Por lo tanto, el rango es:
\[ [-8, -4] \]Para una función de la forma \(y = a\sin(bx + c) + d\), el período es:
\[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \]Solución al Problema 6-6
Una forma de graficar la función dada es a través de transformaciones sucesivas.
Comenzamos con \(y = \cos(2x)\).
A continuación, graficamos \(y = \cos(2x - \pi/4)\) desplazando a la derecha por \(\pi/8\).
Reflejamos sobre el eje x para obtener \(y = -\cos(2x - \pi/4)\).
Finalmente, desplazamos hacia arriba 2 unidades para obtener \(y = -\cos(2x - \pi/4) + 2\).
Esta gráfica coincide con la opción b).
Solución al Problema 6-7
Un período es la distancia de un ciclo, que es desde \( x = 0 \) hasta \( x = 4\pi \); por lo tanto, el período es:
\[ 4\pi \]También conocemos la fórmula del período \( P = \dfrac{2\pi}{|b|} \); por lo tanto:
\[ 4\pi = \dfrac{2\pi}{|b|} \]Resuelve para \( b \) para obtener:
\[ b = 0.5 \quad \text{o} \quad b = -0.5 \]Usemos \( b = 0.5 \); por lo tanto, comenzamos escribiendo la función a encontrar como:
\[ y = a \sin(0.5x + c) + d \]Sea \( y_{\text{máx}} \) el valor máximo de \( y \) y \( y_{\text{mín}} \) el valor mínimo de \( y \). La amplitud \( |a| \) está dada por:
\[ |a| = \frac{y_{\text{máx}} - y_{\text{mín}}}{2} = \frac{-1 - (-3)}{2} = 1 \]Dos posibles valores para \( a \) son \( 1 \) y \( -1 \). Usa \( a = 1 \); la función se convierte en:
\[ y = \sin(0.5x + c) + d \]El valor de \( d \) está dado por:
\[ d = \frac{y_{\text{máx}} + y_{\text{mín}}}{2} = \frac{-1 + (-3)}{2} = -2 \]La función a encontrar es:
\[ y = \sin(0.5x + c) - 2 \]La gráfica dada no tiene desplazamiento horizontal; por lo tanto \( c = 0 \) y la ecuación es:
\[ y = \sin(0.5x) - 2 \]Observa que podemos obtener un número infinito de soluciones sumando \( k(2\pi) \) al argumento de la función seno:
\[ y = \sin(0.5x + k(2\pi)) - 2, \quad \text{donde } k \text{ es un entero} \]Solución al Problema 6-8
Resolvemos la ecuación trigonométrica dada y seleccionamos la solución positiva más pequeña. Reescribe la ecuación como:
\[ \cos(2x - \pi/4) = -\frac{1}{2} \]Sea \( t = 2x - \pi/4 \). Entonces:
\[ \cos(t) = -\frac{1}{2} \]Resolviendo para \( t \) se obtienen las soluciones infinitas:
\[ t_1 = \frac{2\pi}{3} + k(2\pi), \qquad t_2 = \frac{4\pi}{3} + k(2\pi) \]Sustituye de nuevo \( t = 2x - \pi/4 \):
\[ 2x_1 - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + k(2\pi), \qquad 2x_2 - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{3} + k(2\pi) \]Resolviendo para \( x \) se obtiene:
\[ x_1 = \frac{11\pi}{24} + k\pi, \qquad x_2 = \frac{19\pi}{24} + k\pi \]La solución positiva más pequeña ocurre cuando \( k = 0 \):
\[ x = \frac{11\pi}{24} \]Solución al Problema 6-9
Usando la identidad \( \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \), reescribe la expresión como:
\[ \frac{\cot(x)\sin(x) + \cos(x)\sin^2(x) + \cos^3(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(x) + \cos(x)(\sin^2(x)+\cos^2(x))}{\cos(x)} \]Usando la identidad \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), obtenemos:
\[ \frac{\cos(x) + \cos(x)}{\cos(x)} = 2 \]Funciones Logarítmicas y Exponenciales
Solución al Problema 7-1
Reescribe la expresión en razones de términos semejantes:
\[ \frac{4x^2 y^8}{8x^3 y^5} = \left(\frac{4}{8}\right) \left(\frac{x^2}{x^3}\right) \left(\frac{y^8}{y^5}\right) \]Usando las reglas de los exponentes:
\[ = \frac{1}{2} x^{2-3} y^{8-5} = \frac{1}{2}\frac{y^3}{x} \]Solución al Problema 7-2
Reescribe \( 9 \) como \( 3^2 \):
\[ \frac{3^{1/3} 9^{1/3}}{4^{1/2}} = \frac{3^{1/3}(3^2)^{1/3}}{4^{1/2}} \]Usando las reglas de los exponentes:
\[ = \frac{3^{1/3+2/3}}{2} = \frac{3}{2} \]Solución al Problema 7-3
Las funciones logarítmica y exponencial de la misma base son inversas; por lo tanto:
\[ 2x - 4 = b^c \]Solución al Problema 7-4
Usando la fórmula de cambio de base:
\[ \log_a(9)\log_3(a^2) = \log_a(9)\frac{\log_a(a^2)}{\log_a(3)} \]Reescribe \( 9 = 3^2 \) y simplifica:
\[ = 2\log_a(3)\frac{2}{\log_a(3)} = 4 \]Solución al Problema 7-5
Reescribe la ecuación:
\[ \log\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \log(x+1)^2 \]Dado que los logaritmos son uno a uno:
\[ \frac{x+1}{x-1} = (x+1)^2 \]Multiplica en cruz:
\[ x+1 = (x-1)(x+1)^2 \]Resolviendo se obtiene:
\[ (x-1)(2-x^2) = 0 \]Las soluciones son:
\[ x = 1, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} \]Solo se permiten argumentos positivos en los logaritmos, por lo que la solución válida es:
\[ x = \sqrt{2} \]Solución al Problema 7-6
Sea \( z = e^x \) y reescribe la ecuación en términos de \( z \):
\[ z^2 + z - 6 = 0 \]Resuelve para \( z \) para obtener:
\[ z = 2 \quad \text{y} \quad z = -3 \]Sustituye \( z \) por \( e^x \) y resuelve para \( x \):
\[ e^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \ln(2) \] \[ e^x = -3 \quad \text{no tiene solución} \]La ecuación dada tiene una solución:
\[ x = \ln(2) \]Solución al Problema 7-7
A medida que \( x \) se vuelve muy grande, el término \( e^{x-1} \) se acerca a cero y el único término que queda es:
\[ y = 2(-2) = -4 \]que es la ecuación de la asíntota horizontal de la función dada.
Solución al Problema 7-8
A medida que el argumento de la función logarítmica \( 2x - 6 \) se acerca a cero desde la derecha, \( f(x) \) se acerca a valores muy pequeños (menos infinito). Por lo tanto, la asíntota vertical se encuentra resolviendo:
\[ 2x - 6 = 0 \]Solución:
\[ x = 3 \]que es la ecuación de la asíntota vertical de la función dada.
Solución al Problema 7-9
Las funciones en la parte A) y la parte C) están dadas por:
\[ y = 2 - 0.5^{\,2x-1} \quad \text{y} \quad y = 2 - 0.5^{-2x+1} \]Ambas tienen la misma asíntota horizontal \( y = 2 \).
Una función de la forma \( 0.5^{2x} \) es una función exponencial con base \( 0.5 \) y por lo tanto es decreciente. Sin embargo, \( -0.5^{2x} \) es creciente debido al signo negativo. La gráfica en la parte d) es creciente y tiene una asíntota horizontal \( y = 2 \).
Por lo tanto, la función A) corresponde a la gráfica d), y la función C) corresponde a la gráfica a).
Las funciones en la parte B) y la parte D) están dadas por:
\[ y = 0.5^{\,2x-1} \quad \text{y} \quad y = 0.5^{-2x+1} \]Ambas tienen la misma asíntota horizontal \( y = 0 \).
La función \( 0.5^{2x-1} \) es decreciente, mientras que \( 0.5^{-2x} \) es creciente debido al signo negativo en el exponente. La gráfica en la parte c) es decreciente y tiene una asíntota horizontal \( y = 0 \).
Por lo tanto, la función B) corresponde a la gráfica c), y la función D) corresponde a la gráfica b).
Solución al Problema 7-10
La función en la parte A) es:
\[ y = 2 + \ln(x - 2) \]Tiene una asíntota vertical dada por \( x - 2 = 0 \), que da como resultado \( x = 2 \). La gráfica en la parte d) tiene una asíntota vertical en \( x = 2 \) y, por lo tanto, corresponde a la función A).
La función en la parte C) es:
\[ y = -\ln(-x) \]Tiene una asíntota vertical dada por \( -x = 0 \), que da como resultado \( x = 0 \). La gráfica en la parte a) tiene una asíntota vertical en \( x = 0 \) y, por lo tanto, corresponde a la función C).
Las funciones en las partes B) y D) son:
\[ y = -\log_2(x+1) - 1 \quad \text{y} \quad y = -\log_3(x+1) - 1 \]Ambas tienen una asíntota vertical en \( x = -1 \) y la misma intersección con el eje y \( (0,-1) \).
Evaluando en \( x = 1 \), la función en la parte B) da \( y = -2 \). El punto \( (1,-2) \) se encuentra en la gráfica c). Por lo tanto, la función B) corresponde a la gráfica c), y la función D) corresponde a la gráfica b).