Soluciones a ecuaciones cuadráticas y expresiones racionales
Esta página presenta soluciones paso a paso a ecuaciones cuadráticas y racionales. Cada solución incluye explicaciones para ayudar a comprender el proceso.
Solución a la Pregunta 1
- Ecuación dada:
\[
x^2 + 2x = -1
\]
- Reescribir con cero a la derecha:
\[
x^2 + 2x + 1 = 0
\]
- Factorizar la cuadrática:
\[
(x + 1)^2 = 0
\]
- Solución (raíz repetida):
\[
x = -1
\]
Solución a la Pregunta 2
- Ecuación dada:
\[
x^2 + 2 = x + 5
\]
- Reescribir con cero a la derecha:
\[
x^2 - x - 3 = 0
\]
- Discriminante:
\[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 13
\]
- Soluciones:
\[
x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}
\]
Solución a la Pregunta 3
- Ecuación dada:
\[
-(x + 2)(x - 1) = 3
\]
- Expandir:
\[
-x^2 - x + 2 = 3
\]
- Reescribir con cero a la derecha:
\[
-x^2 - x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x + 1 = 0
\]
- Discriminante:
\[
D = 1^2 - 4(1)(1) = -3
\]
- Dado que \(D < 0\), no hay soluciones reales.
Solución a la Pregunta 4
- Ecuación dada:
\[
\frac{2x + 1}{x + 2} = x - 1
\]
- Restricción del dominio: \(x \neq -2\). Multiplicar ambos lados por \(x + 2\):
\[
2x + 1 = (x - 1)(x + 2)
\]
- Expandir y simplificar:
\[
2x + 1 = x^2 + x - 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 3 = 0
\]
- Discriminante:
\[
D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 13
\]
- Soluciones:
\[
x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}
\]
Solución a la Pregunta 5
- Ecuación dada:
\[
\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} = -1
\]
- MCM de denominadores: \((x + 1)(x - 2)\). Multiplicar ambos lados:
\[
2(x - 2) - (x + 1) = -1 (x + 1)(x - 2)
\]
- Expandir y simplificar:
\[
x - 5 = -x^2 + x + 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 7
\]
- Soluciones:
\[
x_1 = \sqrt{7}, \quad x_2 = -\sqrt{7}
\]
Solución a la Pregunta 6
- Ecuación dada:
\[
2(x - 2)^2 - 6 = -2
\]
- Sumar 6:
\[
2(x - 2)^2 = 4
\]
- Dividir por 2:
\[
(x - 2)^2 = 2
\]
- Tomar raíces cuadradas:
\[
x - 2 = \sqrt{2} \quad \text{o} \quad x - 2 = -\sqrt{2}
\]
- Soluciones:
\[
x_1 = 2 + \sqrt{2}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{2}
\]
Solución a la Pregunta 7
- Ecuación dada:
\[
\frac{x}{x + 4} = \frac{-3}{x - 2} + \frac{18}{(x - 2)(x + 4)}
\]
- MCM de denominadores: \((x + 4)(x - 2)\). Multiplicar ambos lados:
\[
x(x - 2) = -3(x + 4) + 18
\]
- Simplificar:
\[
x^2 - 2x = -3x - 12 + 18 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 6 = 0
\]
- Factorizar y resolver:
\[
(x + 3)(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3, \, x = 2
\]
- Verificar restricciones: \(x = 2\) está excluido (denominador cero). Por lo tanto, la solución es:
\[
x = -3
\]
Solución a la Pregunta 8
- Ecuación dada:
\[
x^2 - 3(x - 3)^2 = 2
\]
- Expandir:
\[
x^2 - 3(x^2 - 6x + 9) = 2 \quad \Rightarrow \quad -2x^2 + 18x - 27 = 2
\]
- Reescribir:
\[
-2x^2 + 18x - 29 = 0
\]
- Discriminante:
\[
D = 18^2 - 4(-2)(-29) = 324 - 232 = 92
\]
- Soluciones:
\[
x = \frac{18 \pm \sqrt{92}}{-4} = \frac{9 \pm \sqrt{23}}{2}
\]
Solución a la Pregunta 9
- Ecuación dada:
\[
\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 4} = \frac{x^2}{x^2 - 16}
\]
- MCM: \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\). Multiplicar ambos lados:
\[
(x + 4) + (x - 4) = x^2 \quad \Rightarrow \quad 2x = x^2
\]
- Reescribir:
\[
x^2 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 2) = 0
\]
- Soluciones:
\[
x = 0, \quad x = 2
\]
Solución a la Pregunta 10
- Ecuación dada:
\[
-\frac{x}{x + 3} - \frac{x}{x - 3} = - \frac{4}{x^2 - 9} - \frac{1}{x + 3}
\]
- MCM: \(x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)\). Multiplicar ambos lados:
\[
-x(x - 3) - x(x + 3) = -4 - (x - 3)
\]
- Simplificar y reescribir:
\[
2x^2 - x - 1 = 0
\]
- Soluciones:
\[
x = 1, \quad x = -\frac{1}{2}
\]
Recursos adicionales