encontrar ángulos coterminales

Encuentre los ángulos coterminales A c a un ángulo A dado.

¿Qué son los ángulos coterminales?

Si graficas ángulos α = 30° y β = - 330° en posición estándar, estos ángulos tendrán el mismo lado terminal y por eso se llaman ángulos coterminales. Vea la figura a continuación.

Ángulos coterminales

Los ángulos coterminales A c del ángulo A se pueden obtener sumando o restando k × 360 grados o k × (2 π). Por eso
A c = A + k × 360°
si A se da en grados.
o
A c = A + k ×(2 π)
si A se expresa en radianes.
donde k es cualquier número entero negativo o positivo.


Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo hasta el ángulo A = -200°

Solución al ejemplo 1:
Hay un número infinito de respuestas posibles a la pregunta anterior ya que k en la fórmula de los ángulos coterminales es cualquier número entero positivo o negativo.
Se puede obtener un ángulo coterminal positivo con respecto al ángulo A sumando 360°, 2(360)° = 720° (o cualquier otro ángulo positivo múltiplo de 360°). Un ángulo coterminal positivo A c puede estar dado por
A c = -200° + 360° = 160°
Se puede obtener un ángulo coterminal negativo con respecto al ángulo A sumando -360°, -2(360)°; = -720° (o cualquier otro ángulo negativo múltiplo de 360°). Un ángulo coterminal negativo A c puede estar dado por
A c = -200° - 360° = -560°


Ejemplo 2

Encuentre un ángulo coterminal A c al ángulo A = - 17 π / 3 tal que A c sea mayor o igual a 0 y menor que 2 π

Solución al ejemplo 2:
Se puede obtener un ángulo coterminal positivo al ángulo A sumando 2 π, 2(2 π) = 4 π (o cualquier otro ángulo positivo múltiplo de 2 π). Un ángulo coterminal positivo A c puede estar dado por
A c = - 17 π / 3 + 2 π = -11 π / 3
Como puede ver, agregar 2*π No es suficiente obtener un ángulo coterminal positivo y necesitamos sumar un ángulo mayor pero ¿cuál es el tamaño del ángulo a sumar? Necesitamos escribir nuestro ángulo negativo en la forma - n (2 π) - x, donde n es un entero positivo y x es un ángulo positivo tal que x < 2 π.
- 17 π /3 = - 12 π / 3 - 5 π / 3 = - 2 (2 π) - 5 π / 3
De lo anterior podemos deducir que para que nuestro ángulo sea positivo, necesitamos sumar 3(2*π) = 6 π
A c = - 17 π /3 + 6 π = π / 3


Ejemplo 3

Encuentre un ángulo coterminal A c al ángulo A = 35 π / 4 tal que A c sea mayor o igual a 0 y menor que 2 π

Solución al ejemplo 3:
Usaremos un método similar al usado en el ejemplo 2 anterior: Primero reescribe el ángulo A en la forma n(2π) + x para que podamos "ver" qué ángulo agregar.
A = 35 π / 4 = 32 π / 4 + 3 π / 4 = 4(2 π) + 3 π /4
De lo anterior podemos deducir que para hacer nuestro ángulo menor que 2 π necesitamos sumar - 4(2π) = - 8 π al ángulo A
A c = 35 π / 4 - 8 π = 3 π /4


Ejercicios

(ver soluciones a continuación)
1. Encuentre un ángulo coterminal positivo menor que 360°. a los ángulos
a) A = -700°   ,   b) B = 940°
2. Encuentre un ángulo coterminal positivo menor que 2 π a los ángulos
a) A = - 29 π / 6   ,   b) B = 47 π / 4

Soluciones a los ejercicios anteriores
1. a) A c = 20°   ,   b) Bc = 220°
2. Encuentre un ángulo coterminal positivo menor que 2 π a los ángulos
a) A c = 7 π / 6   ,   b) Bc = 7 π / 4


Más enlaces y referencias sobre ángulos.

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