Encontrar los Puntos de Intersección de dos Circunferencias
Se presenta un tutorial sobre cómo encontrar los puntos de intersección de dos circunferencias dadas por sus ecuaciones.
Ejemplo 1
Encuentre los puntos de intersección de las circunferencias dadas por sus ecuaciones de la siguiente manera:
\[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9 \]
\[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 16 \]
Solución al Ejemplo 1
Los puntos de intersección se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones anterior.
Primero expandimos las dos ecuaciones de la siguiente manera:
\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 9 \)
\( x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 16 \)
Multiplicamos todos los términos de la primera ecuación por -1 para obtener una ecuación equivalente y mantenemos la segunda ecuación sin cambios:
\( -x^2 + 4x - 4 - y^2 + 6y - 9 = -9 \)
\( x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 16 \)
Ahora sumamos los lados correspondientes de las dos ecuaciones para obtener una ecuación lineal:
\( 2x - 3 + 8y - 8 = 7 \)
Que se puede escribir como:
\( x + 4y = 9 \) o \( x = 9 - 4y \)
Sustituimos \( x \) por \( 9 - 4y \) en la primera ecuación para obtener:
\( (9 - 4y)^2 - 4(9 - 4y) + 4 + y^2 - 6y + 9 = 9 \)
Que se puede escribir como:
\( 17y^2 - 62y + 49 = 0 \)
Resolvemos la ecuación cuadrática anterior para \( y \) y obtenemos dos soluciones:
\( y = \frac{31 + 8\sqrt{2}}{17} \approx 2.49 \)
y \( y = \frac{31 - 8\sqrt{2}}{17} \approx 1.16 \)
Ahora sustituimos los valores de \( y \) ya obtenidos en la ecuación \( x = 9 - 4y \) para obtener los valores de \( x \):
\( x = \frac{29 + 32\sqrt{2}}{17} \approx - 0.96 \)
y \( x = \frac{29 - 32\sqrt{2}}{17} \approx 4.37 \)
Los dos puntos de intersección de las dos circunferencias son:
\( (-0.96 , 2.49) \) y \( (4.37 , 1.16) \)
A continuación se muestra la gráfica de las dos circunferencias y la ecuación lineal \( x + 4y = 9 \) obtenida anteriormente.
Más Referencias y Enlaces
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