Dominio de una Gráfica
Encuentra el dominio de la gráfica de una función; se presentan ejemplos con soluciones. Primero se explica el significado gráfico del concepto de dominio de una función.
Dominio de la Gráfica de una Función
El dominio implícito de una función \( f \) es el conjunto de todos los valores de \( x \) para los cuales \( f(x) \) está definida y es real. La gráfica de una función \( f \) es el conjunto de todos los puntos \( (x, f(x)) \). Por lo tanto, para una función \( f \) definida por su gráfica, el dominio implícito de \( f \) es el conjunto de todos los valores reales \( x \) a lo largo del eje \( x \) para los cuales existe un punto en la gráfica dada.
Como ejemplo, hay puntos en la gráfica a continuación en \( x = -3, -2.5, -2, -0.5, 2.5, 3, 3.2, 4 \). Estos valores y muchos otros valores de \( x \) están incluidos en el dominio de \( f \).
No hay puntos en la gráfica en \( x = -1 \) (círculo abierto en la gráfica), \( 0.5 \), \( 1 \), \( 1.5 \), \( 2 \) (círculo abierto). Estos valores y muchos otros valores de \( x \) no están incluidos en el dominio de \( f \).
Con estas ideas y definición, resolveremos ahora ejemplos donde se encuentra el dominio completo de una gráfica dada.
Dominio de una Gráfica; Ejemplos con Soluciones Detalladas
Ejemplo 1
Encuentra el dominio de la gráfica de la función que se muestra a continuación y escríbelo en notación de intervalo y desigualdad.
Solución al Ejemplo 1
La gráfica comienza en \( x = -4 \) y termina en \( x = 6 \). Para todos los \( x \) entre \( -4 \) y \( 6 \), hay puntos en la gráfica. Por lo tanto, el dominio, en notación de intervalo, se escribe como
\[ [-4 , 6] \]
En notación de desigualdad, el dominio se escribe como
\[ -4 \leq x \leq 6 \]
Observa que cerramos los corchetes del intervalo porque \( -4 \) y \( 6 \) están incluidos en el dominio, lo cual está indicado por los círculos cerrados en \( x = -4 \) y \( x = 6 \).
Ejemplo 2
¿Cuál es el dominio, en notación de intervalo, de la gráfica de la función que se muestra a continuación?
Solución al Ejemplo 2
La gráfica comienza en \( x = -4 \) y termina en \( x = 4 \). Hay puntos en la gráfica para todos los valores de \( x \) entre \( -4 \) y \( 4 \), incluyendo en \( -4 \) y \( 4 \). Por lo tanto, el dominio, en notación de intervalo, se escribe como
\[ [-4, 4] \]
Ejemplo 3
¿Cuál es el dominio de la gráfica de la función?
Solución al Ejemplo 3
La gráfica comienza en \( x = -8 \) y termina en \( x = 8 \). La gráfica está definida para todos los \( x \) entre \( -8 \) y \( 8 \). Incluimos \( -8 \) y \( 8 \) debido a los círculos cerrados en \( x = -8 \) y \( x = 8 \). Por lo tanto, el dominio, en notación de intervalo, se escribe como
\[ [-8, 8] \]
Ejemplo 4
Encuentra el dominio de la gráfica de la función que se muestra a continuación.
Solución al Ejemplo 4
La gráfica comienza en \( x = -4 \) y termina en \( x = 6 \). La gráfica está definida para todos los \( x \) entre \( -4 \) y \( 6 \). El intervalo es cerrado en \( -4 \) y \( 6 \) debido a los círculos cerrados en \( x = -4 \) y \( x = 6 \). Por lo tanto, el dominio, en notación de intervalo, se escribe como
\[ [-4, 6] \]
Ejemplo 5
Escribe el dominio de la gráfica de la función que se muestra a continuación en notación de intervalo y desigualdad.
Solución al Ejemplo 5
La gráfica comienza en valores de \( x > -4 \) y termina en valores de \( x \lt 4 \). \( x = -4 \) y \( x = 4 \) no están incluidos en el dominio debido a los círculos abiertos en estos valores. Por lo tanto, el dominio, en notación de intervalo, se escribe como
\[ (-4 , 4) \]
Observa que el intervalo es abierto para indicar que \( -4 \) y \( 4 \) no están incluidos en el dominio de la gráfica.
En notación de desigualdad, el mismo dominio está dado por
\[ -4 \lt x \lt 4 \]
Observa que se utiliza el signo de desigualdad estricta (sin igual) en la notación de desigualdad del dominio porque \( x = -4 \) y \( x = 4 \) no están incluidos en el dominio.
Ejemplo 6
Escribe el dominio de la gráfica de la función que se muestra a continuación en notación de intervalo.
Solución al Ejemplo 6
La gráfica comienza en valores de \( x = -8 \) y termina en valores de \( x \lt 2 \). Los círculos abiertos en \( x = -4 \), \( x = -2 \) y \( x = 2 \) indican que estos valores no están incluidos en el dominio. Por lo tanto, el dominio, en notación de intervalo, se escribe como
\[ [-8, -4) \cup (-4, -2) \cup (-2, 2) \]
Observa que el intervalo es abierto en \( x = -4 \), \( x = -2 \) y \( x = 2 \) para indicar que estos valores no están incluidos en el dominio de la gráfica.
Ejemplo 7
Escribe el dominio de la gráfica de la función que se muestra a continuación en notación de desigualdad.
Solución al Ejemplo 7
La gráfica comienza en \( x = -4 \) y termina en \( x \lt 2 \). El dominio no incluye \( x = 2 \) debido al círculo abierto en \( x = 2 \). Por lo tanto, el dominio, en notación de desigualdad, se escribe como
\[ -4 \leq x \lt 2 \]
En notación de intervalo, el dominio está dado por \[ [-4 , 2) \]
Ejemplo 8
Escribe el dominio de la gráfica de la función que se muestra a continuación usando notación de intervalo
Solución al Ejemplo 8
La gráfica está compuesta por tres partes. La parte izquierda está definida para todos los valores de \( x \) entre \( -4 \) y \( -2 \). La parte central está definida en el intervalo \( x > 0 \) y \( x \leq 4 \). La parte derecha está definida para \( x > 6 \) y \( x \leq 8 \). El dominio se escribe como una unión de tres intervalos de la siguiente manera
\[ [-4, -2] \cup (0, 4] \cup (6, 8] \]
Más Enlaces y Referencias
Encontrar dominio y rango de funciones
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Solucionador Paso a Paso para Encontrar el Dominio de la Raíz Cuadrada de una Función Lineal,
Encontrar el Dominio de la Raíz Cuadrada de una Función Cuadrática