¿Cómo encontrar el dominio de funciones logarítmicas?

Se presenta un tutorial paso a paso, con soluciones detalladas, sobre cómo encontrar el dominio de funciones logarítmicas de valores reales. También se presentan problemas correspondientes a los ejercicios con soluciones al final de la página. También se incluye una Calculadora paso a paso para encontrar el dominio de una función.

Definición del dominio de una función

Para una función \( f \) definida por una expresión con variable \( x \), el dominio implícito de \( f \) es el conjunto de todos los números reales que puede tomar la variable \( x \) tal que la expresión que define la función sea real. El dominio también se puede dar explícitamente.

Ejemplos de cómo encontrar el dominio de funciones logarítmicas con soluciones

Ejemplo 1

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = \log_3(x - 1) \]
Solución al Ejemplo 1
\( f(x) \) puede tomar valores reales si el argumento de \( \log_3(x - 1) \), que es \( x - 1 \), es positivo. Por lo tanto, la condición sobre el argumento es
\( x - 1 > 0 \)
Resuelva la desigualdad anterior para \( x \) y obtenga el dominio: \( x > 1 \) o en forma de intervalo (1, \( \infty \))

Problema correspondiente 1

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = \log_5(3 - x) \]

Ejemplo 2

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = \log_2(x^2 + 5) \]
Solución al Ejemplo 2
El argumento de \( \log_2(x^2 + 5) \), que es \( x^2 + 5 \), es siempre mayor que cero y por lo tanto positivo. Por consiguiente, el dominio de la función dada está dado por el intervalo:
(-\( \infty \), \( +\infty \))

Problema correspondiente 2

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \ln(3 + x^4) \]

Ejemplo 3

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \ln(9 - x^2) \]
Solución al Ejemplo 3
Para que \( \ln(9 - x^2) \) sea real, el argumento de \( \ln(9 - x^2) \), que es \( 9 - x^2 \), debe ser positivo. De ahí la desigualdad
\( 9 - x^2 > 0 \)
La solución de la desigualdad \( 9 - x^2 > 0 \) está dada por el intervalo
\( (- 3, 3) \)
El dominio de la función dada es el intervalo \( (- 3, 3) \).

Problema correspondiente 3

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \log_4(16 - x^2) \]

Ejemplo 4

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \log_4|x - 3| \]
Solución al Ejemplo 4
El dominio de esta función es el conjunto de todos los valores de \( x \) tales que \( |x - 3| > 0 \). La expresión \( |x - 3| \) es positiva para todos los valores reales excepto para \( x = 3 \) que la hace cero. Por lo tanto, el dominio de la función dada es el conjunto de todos los valores reales excepto 3, que se puede escribir en forma de intervalo como sigue
(-\( \infty \), 3) \( \cup \) (3, \( +\infty \))
o en forma de desigualdad como sigue
\( x \lt 3 \) o \( x > 3 \)

Problema correspondiente 4

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \ln|-x - 6| \]

Ejemplo 5

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \ln(2x^2 - 3x - 5) \]
Solución al Ejemplo 5
El dominio de esta función es el conjunto de todos los valores de \( x \) tales que \( 2x^2 - 3x - 5 > 0 \). Necesitamos resolver la desigualdad
\( 2x^2 - 3x - 5 > 0 \)
Factorice la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad
\( (2x - 5)(x + 1) > 0 \) Resuelva la desigualdad anterior para obtener el conjunto solución como sigue:
\( x \lt -1 \) o \( x > \frac{5}{2} \)
El dominio se da en forma de desigualdad como \( x \lt -1 \) o \( x > \frac{5}{2} \) y en forma de intervalo como sigue:
(-\( \infty \), -1) \( \cup \) (\( \frac{5}{2} \), \( +\infty \))

Problema correspondiente 5

Encuentre el dominio de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \log(3x^2 + 4x - 7) \]

Respuestas a los problemas correspondientes

  1. (-\( \infty \), 3)
  2. (-\( \infty \), \( +\infty \))
  3. (- 4, 4)
  4. (- \( \infty \), - 6) \( \cup \) (- 6, \( +\infty \))
  5. (- \( \infty \), -\(\frac{7}{3}\)) \( \cup \) (- 1, \( +\infty \))

Más enlaces y referencias

Encontrar dominio y rango de funciones,
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encontrar el dominio de una función y tutoriales y problemas de matemáticas.