¿Cómo Encontrar el Dominio de Funciones Racionales?

Se presenta un tutorial paso a paso, con soluciones detalladas, sobre cómo encontrar el dominio de funciones racionales. También se presentan problemas relacionados con los ejercicios y sus soluciones al final de la página.

Definición del Dominio de una Función

Para una función \( f \) definida por una expresión con variable \( x \), el dominio implícito de \( f \) es el conjunto de todos los números reales que la variable \( x \) puede tomar tal que la expresión que define la función sea real. El dominio también puede darse explícitamente.
También se incluye una Calculadora Paso a Paso para Encontrar el Dominio de una Función.


Encontrar el Dominio de una Función Racional: Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por \[ f(x) = \dfrac{1}{x-2} \] Solución del Ejemplo 1
\( f(x) \) puede tomar valores reales si el denominador de \( f(x) \) NO es CERO, porque la división por cero no está permitida en matemáticas.
\( x - 2 \neq 0 \)
Resuelve la desigualdad anterior para \( x \) para obtener el dominio: \( x \neq 2 \)
Que en forma de intervalo puede escribirse de la siguiente manera
\((- \infty , 2) \cup (2 , +\infty)\)

Problema Relacionado 1

Encuentra el dominio de la función \( f \) dada por \[ f(x) = \dfrac{1}{6-x} \]


Ejemplo 2

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por \[ f(x) = \dfrac{x+3}{x^2+7} \] Solución del Ejemplo 2
Para que \( f(x) \) tenga valores reales, el denominador debe ser diferente de cero. Por lo tanto
\( x^2 + 7 \neq 0 \)
La expresión \( x^2 + 7 \) es siempre positiva (un cuadrado sumado a un número positivo). Por lo tanto, el dominio de \( f \) está dado por el intervalo
\((- \infty , +\infty)\)

Problema Relacionado 2

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \dfrac{2x+4}{-x^2-9} \]


Ejemplo 3

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \dfrac{2x+9}{2x^2+x-15} \]
Solución del Ejemplo 3
Para que \( f(x) \) dada anteriormente sea real, su denominador debe ser diferente de cero. Primero encontremos las raíces del denominador resolviendo la ecuación
\( 2 x^2 + x - 15 = 0 \)
Las raíces son
\( -3 \) y \( \frac{5}{2} \)
El denominador \( 2x^2 + x - 15 \) no es igual a cero para todos los valores reales excepto \( -3 \) y \( \frac{5}{2} \). Por lo tanto, el dominio de la función dada es
\((- \infty , - 3) \cup (- 3 , \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2} , +\infty)\)

Problema Relacionado 3

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \dfrac{-x+4}{-3x^2+2x+8} \]


Ejemplo 4

Encuentra el dominio de la función \( f \) dada por: \[ f(x) = \dfrac{2}{2x-6} - \dfrac{x}{4x+7} \] Solución del Ejemplo 4
Para que \( f(x) \) sea real, ambos denominadores \( 2x - 6 \) y \( 4x + 7 \) no deben ser iguales a cero. Encontremos los valores de \( x \) que hacen que los dos denominadores sean iguales a cero
\( 2x - 6 = 0 \) da \( x = 3 \)
\( 4x + 7 = 0 \) da \( x = - \frac{7}{4} \)
\( f(x) \) es real para todos los valores reales excepto \( 3 \) y \( - \frac{7}{4} \). El dominio de la función anterior está dado por
\((- \infty , -\frac{7}{4}) \cup (-\frac{7}{4} , 3) \cup (3 , +\infty)\)

Problema Relacionado 4

Encuentra el dominio de la función \( f \) dada por: \[ f(x) = \dfrac{2 - 7x}{-x-4} - \dfrac{x+1}{-7x+3} \]


Ejemplo 5

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \dfrac{-5x+6}{x^3 - x} \]
Solución del Ejemplo 5
Primero encontremos los valores que hacen que el denominador sea igual a cero
\( x^3 - x = 0 \)
Factoriza la expresión en el lado izquierdo de la ecuación
\( x(x^2 - 1) = 0 \)
\( x(x + 1)(x - 1) = 0 \)
Resuelve la ecuación anterior para obtener el conjunto solución de la siguiente manera:
\( x = 0 \), \( x = 1 \) y \( x = -1 \)
El dominio se da en forma de intervalo de la siguiente manera:
\((- \infty , - 1) \cup (- 1 , 0) \cup (0 , 1) \cup (1 , +\infty)\)

Problema Relacionado 5

Encuentra el dominio de la función \( f \) definida por: \[ f(x) = \dfrac{-7x-2}{x^3 +2x^2-3x} \]

Respuestas a los Problemas Relacionados

  1. \((- \infty , 6) \cup (6 , + \infty)\)
  2. \((- \infty , + \infty)\)
  3. \((- \infty , - 4 / 3) \cup (- 4 / 3 , 2) \cup (2 , \infty)\)
  4. \((- \infty , - 4) \cup (- 4 , 3 / 7) \cup (3 / 7 , \infty)\)
  5. \((- \infty , - 3) \cup (- 3 , 0) \cup (0 , 1) \cup (1 , \infty)\)

Más Enlaces y Referencias sobre el Dominio de Funciones

Encuentra el dominio y rango de funciones,
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