Encuentra el rango de funciones matemáticas de variable real utilizando diferentes técnicas.
La función dada tiene un valor constante 3 y por lo tanto el rango es el conjunto
\( \{3\} \)
Suponiendo que el dominio de la función dada es el conjunto de todos los números reales \( \mathbb{R} \), la variable \( x \) toma todos los valores en el intervalo
\( (-\infty , +\infty) \)
Si \( x \) toma todos los valores en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \) entonces \( 4x + 5 \) toma todos los valores en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \) y el rango de la función dada está dado por el intervalo
\( (-\infty , +\infty) \)
Asumiendo que el dominio de la función dada es \( \mathbb{R} \), esto significa que \( x \) toma todos los valores en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \) lo que implica que \( x^2 \) es cero o positivo. Por lo tanto, podemos escribir la siguiente desigualdad
\( x^2 \geq 0 \)
Suma 5 a ambos lados de la desigualdad para obtener
\( x^2 + 5 \geq 5 \) o \( f(x) \geq 5 \)
El rango de \( f(x) = x^2 + 5 \) está dado por el intervalo: \( [5 , +\infty) \)
Primero escribimos la función cuadrática dada en forma canónica completando el cuadrado
\( f(x) = -2x^2 + 4x - 7 = -2(x^2 - 2x) - 7 = -2( (x - 1)^2 - 1) - 7 = -2(x - 1)^2 - 5 \)
El dominio de la función dada es \( \mathbb{R} \) con \( x \) tomando cualquier valor en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \), por lo tanto \( (x - 1)^2 \) es cero o positivo. Comenzamos escribiendo la desigualdad
\( (x - 1)^2 \geq 0 \)
Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por -2 y cambiamos el signo de la desigualdad para obtener
\( -2 (x - 1)^2 \leq 0 \)
Sumamos \( -5 \) a ambos lados de la desigualdad para obtener
\( -2 (x - 1)^2 - 5 \leq -5 \) o \( f(x) \leq -5 \) y por lo tanto el rango de la función \( f \) está dado por el intervalo \( (-\infty , -5] \)
El dominio de la función dada es \( \mathbb{R} \) y por lo tanto \( x \) toma todos los valores en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \). El exponente \( 2x + 5 \) toma todos los valores en el intervalo \( (-\infty , +\infty) \), podemos escribir la siguiente desigualdad (la función exponencial básica siempre es positiva)
\( e^{2x + 5} > 0 \)
Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por -3 y cambiamos el signo de la desigualdad para obtener
\( -3e^{2x + 5} < 0 \)
Sumamos 2 a ambos lados de la desigualdad para obtener
\( -3e^{2x + 5} + 2 \lt 2 \) o \( f(x) \lt 2 \)
El rango de la función dada está dado por el intervalo \( (-\infty , 2) \).
El dominio de la función dada es \( \mathbb{R} \), podemos comenzar escribiendo la desigualdad
\( x^2 \geq 0 \)
Sumamos 5 a ambos lados de la desigualdad
\( x^2 + 5 \geq 5 \)
La función exponencial básica es una función creciente, por lo que podemos usar lo anterior para escribir la desigualdad
\( e^{x^2 + 5} \geq e^5 \)
Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por -3 y sumamos 2 a ambos lados para obtener
\( -3e^{x^2 + 5} + 2 \leq -3e^5 + 2 \)
Nota que el lado izquierdo de la desigualdad es igual a \( f(x) \). Por lo tanto
\( f(x) \lt -3e^5 + 2 \) lo que significa que el rango de la función \( f \) está dado por el intervalo: \( (-\infty , -3e^5 + 2) \)
Para esta función racional, un método algebraico directo similar a los anteriores no es obvio. Primero encontremos su inversa, el dominio de su inversa nos dará el rango de \( f \).
Primero demostramos que \( f \) es una función uno a uno y luego encontramos su inversa. Para que una función sea uno a uno, necesitamos mostrar que
Si \( f(a) = f(b) \) entonces \( a = b \).
\( \dfrac{a - 1}{a + 2} = \dfrac{b - 1}{b + 2} \)
Multiplicamos en cruz, expandimos y simplificamos
\( (a - 1)(b + 2) = (b - 1)(a + 2) \)
\( ab + 2a - b - 2 = ab + 2b - a - 2 \)
\( 3a = 3b \), lo que finalmente da \( a = b \) y demuestra que \( f \) es una función uno a uno.
Encontremos la inversa de \( f \)
\( y = \dfrac{x - 1}{x + 2} \)
Resolvemos para \( x \)
\( x = \dfrac{2y + 1}{1 - y} \)
Cambiamos \( y \) por \( x \) y \( x \) por \( y \) y escribimos la función inversa
\( f^{-1}(x) = y = \dfrac{2x + 1}{1 - x} \)
El rango de \( f \) está dado por el dominio de \( f^{-1} \) y, por lo tanto, está dado por el intervalo
\( (-\infty , 1) \cup (1 , +\infty) \)
El rango de \( \ln(x) \) está dado por el intervalo \( (-\infty , +\infty) \). Dado que la gráfica de \( \ln(x + 3) \) es la gráfica de \( \ln(x) \) desplazada 3 unidades a la izquierda, el rango de \( \ln(x + 3) \) también está dado por el intervalo \( (-\infty , +\infty) \).
La gráfica de \( -3\ln(x + 3) \) es la de \( \ln(x + 3) \) reflejada en el eje x debido al signo negativo y expandida verticalmente por 3, por lo tanto, el rango sigue siendo el intervalo \( (-\infty , +\infty) \).
La gráfica de \( f \) es la de \( -3\ln(x +3) \) desplazada 2 unidades hacia arriba y, por lo tanto, el rango también está dado por el intervalo \( (-\infty , +\infty) \).
\( x^2 \) es una cantidad que puede ser cero o positiva, por lo tanto podemos escribir
\( x^2 \geq 0 \)
Sumamos 4 a ambos lados de la desigualdad para obtener
\( x^2 + 4 \geq 4 \)
Dividimos ambos lados de la desigualdad \( x^2 + 4 \geq 4 \) por la cantidad positiva \( 4(x^2 + 4) \) para obtener
\( \dfrac{1}{4} \geq \dfrac{1}{x^2 + 4} \)
El lado derecho de la desigualdad es igual a \( f(x) \). Por lo tanto, la desigualdad anterior puede escribirse como
\( f(x) \leq \dfrac{1}{4} \)
Dado que \( \dfrac{1}{x^2 + 4} \) siempre es positivo y nunca cero, pero puede acercarse mucho a cero a medida que \( x \) aumenta o disminuye indefinidamente, el rango de \( f \) está dado por el intervalo \( (0; \dfrac{1}{4}) \)
Nota que \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \). Por lo tanto
\( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 4} - 6 = \sqrt{(x + 2)^2} - 6 = |x + 2| - 6 \)
El rango de \( |x + 2| \) está dado por el intervalo \( [0 , +\infty) \). La gráfica de \( f \) es la de \( |x + 2| \) desplazada 6 unidades hacia abajo y, por lo tanto, el rango está dado por el intervalo \( [-6 , +\infty) \)
Por trigonometría básica sabemos que el rango de valores de la función seno es \( [-1 , 1] \). Por lo tanto
\( -1 \leq \sin(3x - \pi) \leq 1 \)
Multiplicamos todos los términos por -2; cambiamos los signos de las desigualdades y sumamos 1.5 a todos los términos
\( 2 + 1.5 \geq -2\sin(3x - \pi) + 1.5 \geq -2 + 1.5 \)
Simplificamos y reescribimos como
\( -0.5 \leq f(x) \leq 3.5 \), lo que da el rango de \( f \) como el intervalo \( [-0.5 , 3.5] \).