Encontrar el Rango de Funciones con Valor Absoluto
Se presentan ejemplos y problemas relacionados sobre cómo encontrar el rango de funciones con valor absoluto, junto con sus respuestas ubicadas al final de esta página.
Análisis Gráfico del Rango de Funciones con Valor Absoluto
El rango de una función \( y = f(x) \) es el conjunto de valores \( y \) que toma para todos los valores de \( x \) dentro del dominio de \( f \).
¿Cuál es el rango de \( y = f(x) = |x| \)?
El dominio de \( f \) anterior es el conjunto de todos los valores de \( x \) en el intervalo \( (-\infty, +\infty) \).
A medida que \( x \) toma valores desde \( -\infty \) hasta \( +\infty \), \( |x| \) toma todos los valores desde \( 0 \) hasta infinito y, en general, la función de valor absoluto de la forma \( y = |ax + b| \) tiene un rango dado por el intervalo
\(|ax + b| \geq 0\) (ver gráficos a continuación)
Fig1. - Rango de la Función de Valor Absoluto.
En forma de intervalo, el rango de \( y = |ax + b| \) está dado por \[ [0 , +\infty) \] o por la desigualdad \[ y \geq 0 \]
Ejemplos con Soluciones sobre Cómo Encontrar el Rango de Funciones con Valor Absoluto
Ejemplo 1
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = - |x| \]
Solución al Ejemplo 1
Comienza con el rango de la función de valor absoluto básica (ver discusión anterior) y escribe
\[ |x| \geq 0 \]
Multiplica los dos lados de la desigualdad anterior por -1 y cambia el símbolo de la desigualdad para obtener
\[ - |x| \leq 0 \]
Por lo tanto, el rango de \( -|x| \) también está dado por el intervalo
\[ (-\infty , 0] \]
Problema Relacionado 1
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = - |2x| \]
Ejemplo 2
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = 2|2x + 4| \]
Solución al Ejemplo 2
El rango de \( |2x + 4| \) está dado por
\[ |2x + 4| \geq 0 \]
Multiplica los dos lados de la desigualdad por 2 para escribir
\[ 2 |2x + 4| \geq 0 \]
El rango de la función dada \( f \) está escrito arriba en forma de desigualdad y también se puede escribir en forma de intervalo de la siguiente manera
\[ [0 , +\infty) \]
Problema Relacionado 2
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = - 4|2x + 4| \]
Ejemplo 3
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = 2|-4x + 5| - 4 \]
Solución al Ejemplo 3
El rango de \( |-4x + 5| \) está dado por
\[ |-4x + 5| \geq 0 \]
Multiplica ambos lados de la desigualdad por 2 para obtener
\[ 2 |-4x + 5| \geq 0 \]
Suma -4 a ambos lados de la desigualdad anterior para obtener
\[ 2 |-4x + 5| - 4 \geq - 4 \]
El rango de \( 2 |-4x + 5| - 4 \) también se puede escribir en forma de intervalo de la siguiente manera
\[ [-4 , +\infty) \]
Problema Relacionado 3
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = - 4|2x + 4| - 6 \]
Ejemplo 4
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = - (1/4)|-4x + 5| + 1/2 \]
Solución al Ejemplo 4
El rango de \( |-4x + 5| \) está dado por
\[ |-4x + 5| \geq 0 \]
Multiplica todos los términos de la desigualdad por \(-(1/4)\) y cambia el símbolo de la desigualdad para obtener
\[ -(1/4) |-4x + 5| \leq 0 \]
Suma \(1/2\) a ambos lados de la desigualdad anterior para obtener
\[ -(1/4) |-4x + 5| + 1/2 \leq 1/2 \]
El rango de valores de \( -(1/4) |-4x + 5| + 1/2 \) también se puede escribir en forma de intervalo de la siguiente manera
\[ (-\infty , 1/2] \]
Problema Relacionado 4
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por
\[ f(x) = 4|-6x - 1/2| - 5 \]
Respuestas a los Problemas Relacionados Anteriores
