Rango de Funciones Exponenciales

Encuentra el rango de funciones exponenciales de valor real utilizando diferentes técnicas. También se incluyen problemas prácticos con sus respuestas al final de la página.

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por \[ f(x) = e^{-x+2} \]

Solución al Ejemplo 1

Primero escribamos la función anterior como una ecuación: \[ y = e^{-x+2} \] Resuelve la ecuación anterior para \( x \):
\( -x + 2 = \ln (y) \)
\( x = 2 - \ln (y) \)
\( x \) es un número real si \( y > 0 \) (el argumento de \( \ln y \) debe ser positivo). Por lo tanto, el rango de la función \( f \) está dado por \( y > 0 \) o el intervalo \( (0 , +\infty) \) Observa la gráfica de \( f \) a continuación y examina el rango gráficamente.

Problema Práctico 1:

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por \[ f(x) = e^{-3x-2} \]

Ejemplo 2

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por \[ f(x) = e^{2x+1} + 3\]

Solución al Ejemplo 2

Escribe la función dada como una ecuación: \[ y = e^{2x+1} + 3\] Resuelve la ecuación anterior para \( x \):
\( x = \frac{1}{2}(\ln (y - 3) -1) \)
\( x \) es un número real para \( y - 3 > 0 \) (el argumento de \( \ln (y - 3) \) debe ser positivo). El rango de la función dada es entonces:
\( y > 3 \) o en forma de intervalo \( (3 , +\infty) \)

Observa la gráfica de \( f \) a continuación y examina el rango gráficamente.

Problema Práctico 2:

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por

\[ f(x) = - e^{-3x-2} - 2\]

Ejemplo 3

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por \[ f(x) = e^{x^2} + 1 \]

Solución al Ejemplo 3

Escribe la función dada como una ecuación:

\[ y = e^{x^2} + 1 \] Resuelve la ecuación anterior para \( x \) para obtener:
\( x^2 = \ln(y - 1) \)
\( x = \pm \sqrt{ \ln(y - 1) } \)
Las soluciones anteriores son reales si:
\( \ln(y - 1) \geq 0 \)
\( y - 1 \geq 1 \)
\( y \geq 2 \)
Por lo tanto, el rango de la función dada es: \( y \geq 2 \) o en forma de intervalo \( [ 2 , +\infty ) \)
Observa la gráfica de \( f \) a continuación y examina el rango gráficamente.

Problema Práctico 3:

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por

\[ f(x) = -e^{x^2} - 5\]

Ejemplo 4

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por \[ f(x) = - 2 e^{-x^2} + 3\]

Solución al Ejemplo 4

Primero escribimos la función dada como una ecuación: \[ y = - 2 e^{-x^2} + 3\]

Resuelve la ecuación anterior para \( x \):

\( y - 3 = -2 e^{-x^2} \)

\( e^{-x^2} = \frac{y - 3}{-2} \)

\( -x^2 = \ln \left[ \frac{y - 3}{-2} \right] \)

\( x = \pm \sqrt{ - \ln \left[ \frac{y - 3}{-2} \right] } \)

\( x \) es real si el argumento del \( \ln \) es positivo y el radicando es positivo o cero. De ahí las siguientes desigualdades:

\( \frac{y - 3}{-2} > 0 \) y \( - \ln \left[ \frac{y - 3}{-2} \right] \geq 0 \)

el conjunto solución de \( \frac{y - 3}{-2} > 0 \) es \( y \lt 3 \).

el conjunto solución de \( - \ln \left[ \frac{y - 3}{-2} \right] \geq 0 \) está dado por \( \frac{y - 3}{-2} \leq 1 \), lo que da \( y \geq 1 \).

el rango de \( f \) es:

\( 1 \leq y \lt 3 \) o en forma de intervalo \( [ 1 , 3 ) \)

Observa la gráfica de \( f \) a continuación y examina el rango gráficamente.

Problema Práctico 4:

Encuentra el rango de la función \( f \) definida por

\[ y = 4 e^{-x^2} -7\]

Respuestas a los Problemas Prácticos

  1. \( (0 , +\infty) \)
  2. \( (-\infty , -2) \)
  3. \( (-\infty , -6] \)
  4. \( (-7 , -3] \)

Más Referencias y Enlaces

Encontrar el dominio de una función
Tutoriales y problemas de matemáticas.