Encuentra el rango de funciones cuadráticas; ejemplos y problemas correspondientes con sus respuestas se encuentran al final de esta página.
Análisis Gráfico del Rango de Funciones Cuadráticas
El rango de una función \( y = f(x) \) es el conjunto de valores \( y \) que toma para todos los valores de \( x \) dentro del dominio de \( f \).
La gráfica de cualquier función cuadrática, de la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), que puede escribirse en forma de vértice de la siguiente manera:
\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]
donde \( h = -\dfrac{b}{2a} \) y \( k = f(h) \)
es ya sea una parábola que se abre hacia arriba, cuando \( a > 0 \), o una parábola que se abre hacia abajo, cuando \( a \lt 0 \) (consulta las gráficas de varias funciones cuadráticas a continuación).
Por lo tanto, si \( a > 0 \), la gráfica de \( f \) tiene un punto mínimo y si \( a \lt 0 \), la gráfica de \( f \) tiene un punto máximo.
Tanto los mínimos como los máximos son los vértices de las parábolas con coordenadas \( (h, k) \) donde \( h = -\dfrac{b}{2a} \) y \( k = f(h) \).
Fig1. - Ejemplos de Funciones Cuadráticas con Mínimos y Máximos.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra el rango de la función \( f \)
definida por:
\[ f(x) = -2x^2 + 4x + 2 \]
Solución al Ejemplo 1
El vértice de la gráfica de \( f \) está en el punto \( (h, k) \) donde
\( h = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-2)} = 1 \) y \( k = f(1) = 4 \)
El coeficiente principal \( a = -2 \) es negativo y, por lo tanto, la gráfica de \( f \) tiene un máximo en el punto \( (1, 4) \). El valor máximo de \( f \) es 4. Por lo tanto, el rango de \( f \) está dado por el intervalo: \( (-\infty, 4] \) (consulta la gráfica a continuación para comprender mejor)
Fig2. - Gráfica de Función Cuadrática con Máximo.
Problema Correspondiente 1:
Encuentra el rango de
la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = -3x^2 - 6x \]
Ejemplo 2
Encuentra el rango de la función \( f \)
definida por:
\[ f(x) = 2x^2 + 12x + 16 \]
Solución al Ejemplo 2
Las coordenadas \( h \) y \( k \) del vértice de la gráfica de \( f \) están dadas por:
\( h = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2(2)} = -3 \) y \( k = f(-3) = -2 \)
El coeficiente principal \( a = 2 \) es positivo y, por lo tanto, la gráfica de \( f \) tiene un punto mínimo en \( (h, k) = (-3, -2) \). El rango de \( f \) está dado por el intervalo \([-2, +\infty) \) (consulta la gráfica de \( f \) a continuación)
Fig3. - Gráfica de Función Cuadrática con Mínimo.
Problema Correspondiente 2:
Encuentra el rango de
la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = 2x^2 - 10x + 19 \]
