Encontrar el Rango de Funciones Racionales
Encuentra el rango de funciones racionales de valor real utilizando diferentes técnicas. También hay problemas correspondientes con respuestas al final de la página.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{x + 1}{2x-2} \]
Solución al Ejemplo 1
Primero, escribamos la función dada como una ecuación:
\( y = \dfrac{x + 1}{2x-2} \)
Resuelve la ecuación anterior para \( x \):
\( y (2x - 2) = x + 1 \)
\( 2xy - 2y = x + 1 \)
\( 2xy - x = 2y + 1 \)
\( x (2y - 1) = 2y + 1 \)
\( x = \dfrac{2y + 1}{2y - 1} \)
La expresión anterior de \( x \) en términos de \( y \) muestra que \( x \) es real para todos los valores reales de \( y \) excepto \( \dfrac{1}{2} \), ya que \( y = \dfrac{1}{2} \) haría que el denominador \( 2y - 1 = 0 \).
Por lo tanto, el rango de \( f \), que es el conjunto de todos los valores posibles de \( y \), está dado por:
\( (-\infty , \dfrac{1}{2}) \cup (\dfrac{1}{2} , +\infty) \)
Observa la gráfica de la función \( f \) y compara el rango encontrado con el de la gráfica.
Problema Correspondiente 1:
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\( f(x) = \dfrac{-x + 1}{x - 3} \)
La respuesta está al final de la página.
Ejemplo 2
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 - 9} \]
Solución al Ejemplo 2
Escribe la función dada como una ecuación:
\( y = \dfrac{x + 2}{x^2 - 9} \)
Reescribe la ecuación anterior para \( x \) en su forma estándar y resuelve usando la fórmula cuadrática:
\( y x^2 - x - 9y - 2 = 0 \)
Encuentra el discriminante de la ecuación anterior:
\( \Delta = (-1)^2 - 4y (-9y - 2) = 36y^2 + 8y + 1 \)
Usando la fórmula cuadrática, la ecuación anterior da las soluciones:
\( x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{36y^2+8y+1}}{2y} \)
Las soluciones \( x_{1,2} \) son reales si \( 36y^2 + 8y + 1 \geq 0 \) y \( y \neq 0 \). Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad:
\( 36y^2 + 8y + 1 \geq 0 \)
El discriminante de \( 36y^2 + 8y + 1 \) es igual a:
\( 8^2 - 4(36)(1) = -80 \)
Dado que el discriminante es negativo, y un valor de prueba muestra que \( 36y^2 + 8y + 1 \) es siempre positivo. Para \( y = 0 \), debemos sustituir \( y = 0 \) en la ecuación \( y = \dfrac{x + 2}{x^2 - 9} \) y resolverla:
\( \dfrac{x + 2}{x^2 - 9} = 0 \)
da la solución \( x = -2 \) y, por lo tanto, \( y = 0 \) también está en el rango de \( f \). Por lo tanto, el rango de \( f \) está dado por:
\( (-\infty , +\infty) \)
Observa la gráfica de la función \( f \) y compara el rango encontrado con el de la gráfica.
Problema Correspondiente 2:
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{-x - 2}{x^2 - 5} \]
La respuesta está al final de la página.
Ejemplo 3
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\( f(x) = \dfrac{x + 2}{x^2 + 1} \)
Solución al Ejemplo 3
Escribe la función anterior como una ecuación:
\( y = \dfrac{x + 2}{x^2 + 1} \)
Reescribe la ecuación anterior de la siguiente manera:
\( y x^2 - x + y - 2 = 0 \)
Resuelve para \( x \) usando la fórmula cuadrática:
\( x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4y(y-2)}}{2y} \) que se simplifica a \( x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 - 4y^2 + 8y}}{2y} \)
Las soluciones anteriores son reales si el radicando no es negativo y \( y \) no es igual a 0. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad:
\( 1 - 4y^2 + 8y \geq 0 \)
El conjunto solución de la desigualdad anterior es:
\( \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2} \leq y \leq \dfrac{2 + \sqrt{5}}{2} \) (es decir, \( 1 - \sqrt{5}/2 \leq y \leq 1 + \sqrt{5}/2 \)), con \( y = 0 \) excluido de esta solución.
Pero si establecemos \( y = 0 \) en la primera ecuación, obtenemos:
\( 0 = \dfrac{x + 2}{x^2 + 1} \)
lo que da \( x = -2 \) y, por lo tanto, \( y = 0 \) también está incluido en el rango de \( f \). Por lo tanto, el rango de \( f \) está dado por el intervalo:
\( \left[ \dfrac{2 - \sqrt{5}}{2}, \dfrac{2 + \sqrt{5}}{2} \right] \)
Observa la gráfica de la función \( f \) y compara el rango encontrado con el de la gráfica.
Problema Correspondiente 3:
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\( f(x) = \dfrac{-x - 2}{x^2 + 6} \)
La respuesta está al final de la página.
Ejemplo 4
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 1} \]
Solución al Ejemplo 4
Escribe la función como una ecuación:
\( y = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 1} \)
Reescribe como una ecuación cuadrática en \( x \):
\( x^2(y - 1) = 2 - y \)
Resuelve para \( x \):
\( x_{1,2} = \pm \sqrt{\dfrac{2-y}{y-1}} \)
Las soluciones anteriores son reales si el radicando no es negativo. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad:
\( \dfrac{2 - y}{y - 1} \geq 0 \)
cuyo conjunto solución está dado por:
\( 1 \lt y \leq 2 \)
El rango de la función dada está dado por el intervalo:
\( (1 , 2] \)
Observa la gráfica de la función \( f \) y compara el rango encontrado con el de la gráfica.
Problema Correspondiente 4:
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{2x^2 + 1} \]
La respuesta está al final de la página.
Ejemplo 5
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1} \]
Solución al Ejemplo 5
Escribe la función como una ecuación:
\( y = \dfrac{1}{x^2 - 1} \)
Reescribe como una ecuación cuadrática en \( x \):
\( x^2 y = y + 1 \)
y resuelve para \( x \):
\( x_{1,2} = \pm \sqrt{\dfrac{y+1}{y}} \)
Para que las soluciones sean reales, el radicando debe ser no negativo. Por lo tanto:
\( \dfrac{y + 1}{y} \geq 0 \)
El conjunto solución de la desigualdad anterior es:
\( (-\infty, -1] \cup (0 , +\infty) \)
que también es el rango de la función dada.
Observa la gráfica de la función \( f \) y compara el rango encontrado con el de la gráfica.
Problema Correspondiente 5:
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{-3}{x^2 - 4} \]
La respuesta está al final de la página.
Ejemplo 6
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{2 x^2 - 1}{x + 1} \]
Solución al Ejemplo 6
Escribe la función como una ecuación:
\( y = \dfrac{2 x^2 - 1}{x + 1} \)
Reescribe la ecuación anterior como una función cuadrática:
\( 2x^2 - yx - y - 1 = 0 \)
Resuelve para \( x \):
\( x_{1,2} = \dfrac{y \pm \sqrt{y^2+8y+8}}{4} \)
Las soluciones anteriores son reales si el radicando no es negativo. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad:
\( y^2 + 8y + 8 \geq 0 \)
cuyo conjunto solución está dado por los intervalos:
\( (-\infty , -4 - 2\sqrt{2}] \cup [-4 + 2\sqrt{2} , +\infty) \)
que también es el rango de la función dada.
Observa la gráfica de la función \( f \) y compara el rango encontrado con el de la gráfica.
Problema Correspondiente 6:
Encuentra el rango de la función \( f \) definida por:
\[ f(x) = \dfrac{2 x^2 + 1}{x - 1} \]
La respuesta está al final de la página.
Respuestas a los Problemas Correspondientes
- \( (-\infty , -1) \cup (-1 , +\infty) \)
- \( (-\infty , +\infty) \)
- \( \left[ \dfrac{2 - \sqrt{10}}{-12}, \dfrac{2 + \sqrt{10}}{-12} \right] \) (equivalente a \( \left[ \dfrac{-2 + \sqrt{10}}{12}, \dfrac{-2 - \sqrt{10}}{12} \right] \))
- \( (1/2 , 5] \)
- \( (-\infty , 0) \cup [3/4 , +\infty) \)
- \( (-\infty , 4-2\sqrt{6}] \cup [4+2\sqrt{6} , +\infty) \)
Más Referencias y Enlaces
Encontrar dominio y rango de funciones
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