Encuentra el rango de funciones raíz cuadrada; ejemplos y problemas correspondientes con sus respuestas al final de la página.
Sabemos, por la discusión anterior, que el rango de la función \( f(x) = \sqrt {x} \) está dado por el intervalo [0 , \( +\infty \) ).
La gráfica de la función dada \( f(x) = \sqrt{x - 1} \) es la gráfica de \( \sqrt{x} \) desplazada 1 unidad hacia la derecha. Un desplazamiento hacia la derecha no afecta el rango. Por lo tanto, el rango de \( f(x) = \sqrt{x - 1} \) también está dado por el intervalo: [ 0 , \( +\infty \) )
Primero comenzamos con el rango de valores de la expresión \( \sqrt {x + 2} \) que puede escribirse en forma de desigualdad de la siguiente manera:
\( \sqrt {x + 2} \geq 0 \)
Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por -1 para obtener:
\( - \sqrt {x + 2} \leq 0 \)
El rango de la expresión \( - \sqrt {x + 2} \), que también es el rango de la función dada, está dado por el intervalo ( \( -\infty \) , 0 ]
El rango de valores de \( \sqrt{x + 3} \) puede escribirse como una desigualdad:
\( \sqrt{x + 3} \geq 0 \)
Multiplicamos ambos lados por -2 (y cambiamos el signo de la desigualdad) para obtener:
\(- 2 \sqrt {x + 3} \leq 0 \)
Sumamos 5 a ambos lados de la desigualdad anterior para obtener:
\(- 2 \sqrt{x + 3} + 5 \leq 5\)
El rango de valores de la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad, que también es el rango de la función dada, está dado por el intervalo:
( \( - \infty , 5 ]\)
Primero necesitamos encontrar el dominio de la función dada, definido como los valores de \( x \) tales que:
\( 16 - x^2 \geq 0 \)
El conjunto solución de la desigualdad anterior es el dominio de \( f(x) \) y está dado por el intervalo:
[ -4 , 4 ]
El rango de valores de \( 16 - x^2 \) para \( x \) en el intervalo [ -4 , 4 ] (dominio) está dado por el intervalo [0 , 16] ya que la gráfica es una parábola con un máximo en el punto (0 , 16).
La función dada es la raíz cuadrada de \( 16 - x^2 \) y, por lo tanto, tiene el rango definido por el intervalo [ \( \sqrt{0} \) , \( \sqrt{16} \) ] = [ 0 , 4 ]. Ver gráficas abajo para una mejor comprensión.
El dominio de la función dada es el conjunto de valores de \( x \) tales que:
\( x^2 - 25 \geq 0 \)
El conjunto solución de la desigualdad anterior es el dominio de \( f(x) \) y está dado por el intervalo:
( \( - \infty \) , -5] \( \cup \) [5 , \( + \infty \) )
Para \( x \) en el intervalo ( \( - \infty \) , -5] \( \cup \) [5 , \( + \infty \) ), el rango de la expresión \( x^2 - 25 \) está dado por el intervalo [ 0 , \( +\infty \) ). La función dada es la raíz cuadrada de \( x^2 - 25 \). Por lo tanto, el rango de la función dada está dado por el intervalo:
[ \( \sqrt{0} \) , \( \sqrt{+\infty} \) ) = [ 0 , \( +\infty \) ). Ver gráfica abajo para una mejor comprensión.
El dominio de la función dada es el conjunto de valores de \( x \) tales que:
\( x^2 - 4x + 8 \geq 0 \)
El discriminante de la expresión cuadrática \( x^2 - 4x + 8 \) está dado por:
\( (-4)^2 - 4 (1)(8) = -16 \)
Dado que el discriminante es negativo, la expresión cuadrática es positiva o negativa para todos los valores de \( x \). Una prueba con \( x = 0 \) revela que la expresión \( x^2 - 4x + 8 \) es siempre positiva y, por lo tanto, el dominio de la función dada es el conjunto de todos los números reales.
A continuación, encontramos el rango de la expresión \( x^2 - 4x + 8 \) que puede escribirse como:
\( x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 + 4 \)
La gráfica de \( (x - 2)^2 + 4 \) es una parábola con un mínimo en (2 , 4) (el vértice). Por lo tanto, el rango de \( x^2 - 4x + 8 \) está dado por el intervalo [ 4 , \( +\infty \) ). La función dada es la raíz cuadrada de \( x^2 - 4x + 8 \) y, por consiguiente, tiene el rango dado por:
[ \( \sqrt{4} \) , \( \sqrt{+\infty} \) ) = [ 2 , \( +\infty \) ). Ver gráfica abajo para una mejor comprensión.
