Ecuación de la Hipérbola
Definición y Ecuación de una Hipérbola con Eje Transversal Horizontal
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\) en un plano tales que la diferencia de las distancias desde \( M \) a los puntos fijos \( F_1 \) y \( F_2 \), llamados focos (plural de foco), es igual a una constante.
\( \overline{MF_2} - \overline{MF_1} = \sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = \pm 2 a \)
Eliminando las raíces cuadradas mediante la elevación al cuadrado y simplificando usando la relación \( c^2 = a^2 + b^2\), la ecuación estándar de una hipérbola puede escribirse como:
\( \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \)
donde \( a \gt 0\), \( b \gt 0\) y \( c \gt 0\).
El punto \(O(0,0)\) es el centro de la hipérbola.
Los puntos \( V_1(a,0) \) y \( V_2(-a,0) \) se denominan vértices de la elipse.
Los focos están en \( F_1(c,0) \) y \( F_2(-c,0) \).
Asíntotas de la Hipérbola
Si resolvemos la ecuación de la hipérbola para \( y \), obtenemos
\( y = \pm \dfrac{b}{a} \sqrt{x^2 - a^2} \)
A medida que \( |x| \) aumenta indefinidamente, \( y \) se aproxima a \(\pm \dfrac{b}{a} x \). Por lo tanto, las rectas con ecuaciones \( y = \pm \dfrac{b}{a} x \) se llaman asíntotas de la hipérbola.
La gráfica de una hipérbola y sus asíntotas (líneas discontinuas) se muestran a continuación.
Ejemplo 1
Una hipérbola, con eje transversal horizontal, centrada en \( (0,0) \) tiene intersecciones en x en \( (3,0) \) y \( ( -3 ,0) \) y focos en \( (5,0) \) y \( (-5,0) \). Encuentra la ecuación de la hipérbola y sus asíntotas.
Solución al Ejemplo 1
Las intersecciones en x de una hipérbola con eje transversal horizontal son los vértices dados por \( (a , 0) \) y \( (-a , 0) \). Por lo tanto \( a = 3 \)
Los focos están dados por \( F_1(c,0) = F_1(5,0)\) y \( F_2(-c,0) = F_2(-5,0)\). Por lo tanto \( c = 5 \)
\(a \), \(b \) y \(c \) están relacionados por \( c^2 = a^2 + b^2\) lo que da la ecuación
\( 5^2 = 3^2 + b^2\)
Resolviendo se obtiene
\( b = 4 \)
La ecuación de la hipérbola está dada por
\( \dfrac{x^2}{3^2} - \dfrac{y^2}{4^4} = 1 \)
Ecuación General
Podemos generalizar y escribir la ecuación de una hipérbola cuyo centro está en \( O(h,k) \) como sigue
\( \dfrac{(x-h)^2}{a^2} - \dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)
con focos en \( F_1(c+h,k) \) y \( F_2(-c+h,k) \) y vértices en \( V_1(a+h,k) \) y \( V_2(-a+h,k) \), y la relación \( c^2 = a^2 + b^2\).
Las asíntotas están dadas por \( y = \pm \dfrac{b}{a} (x - h) + k\)
Ejemplo 2
Encuentra la ecuación de la hipérbola con vértices en \( V_1(2,2) \) y \( V_2(-4,2) \) y cuyas asíntotas están dadas por las ecuaciones \( y = \pm \dfrac{2}{5} (x - h) + k_0 \) donde K_0 es una constante. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas y traza la gráfica de la hipérbola dada y sus asíntotas.
Solución al Ejemplo 2
Los vértices están dados por \( V_1(a+h,k) = V_1(2,2) \) y \( V_2(-a+h,k) = V_2(-4,2) \)
lo que da \( k = 2 \) y \( a+h = 2 \) y \( -a+h = - 4 \)
Resuelve las dos últimas ecuaciones en \( a \) y \( h \) para obtener
\(a = 3\) y \( h = -1 \)
Las asíntotas están dadas por \( y = \pm \dfrac{2}{5} (x - h) + K_0 = \pm \dfrac{b}{a} (x - h) + k \)
Por lo tanto \( \dfrac{b}{a} = \dfrac{2}{5} \)
Sustituye \( a \) por \( 3 \) en la ecuación anterior y resuelve para \( b \) para obtener
\(b = \dfrac{6}{5}\)
\( K_0 = k = 2 \)
Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por
\( y = \pm \dfrac{2}{5} (x + 1) + 2 \)
Ecuación de una Hipérbola con Eje Transversal Vertical
La ecuación de una hipérbola con Eje Transversal Vertical cuyo centro está en \( O(h,k) \) está dada por
\( \dfrac{(y-k)^2}{a^2} - \dfrac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \)
con focos en \( F_1(h,k+c) \) y \( F_2(h,k-c) \) y vértices en \( V_1(h,k+a) \) y \( V_2(h,k-a) \), y la relación \( c^2 = a^2 + b^2\).
Las asíntotas están dadas por \( y = \pm \dfrac{a}{b} (x - h) + k\)
Ejemplo 3
La ecuación de una hipérbola está dada por \( \dfrac{(y-2)^2}{3^2} - \dfrac{(x+3)^2}{2^2} = 1 \). Encuentra su centro, focos, vértices y asíntotas y grafícala.
Solución al Ejemplo 3
La ecuación dada es la de una hipérbola con eje transversal vertical. Comparándola con la ecuación general dada arriba, podemos escribir
\( h = -3, k = 2, a = 3\) y \( b = 2, c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \)
El centro está en \( O(h,k) = O(-3,2) \)
Los focos están en \( F_1(h,k+c) = F_1(-3,2+\sqrt{13})\) y \( F_2(-3,2-\sqrt{13}) \)
Los vértices están en \( V_1(h,k+a) = V_1(-3,5) \) y \( V_2(h,k-a) = V_2(-3,-1) \)
Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por
\( y = \dfrac{3}{2}(x + 3) + 2 \) y \( y = - \dfrac{3}{2}(x + 3) + 2 \)
La gráfica de la ecuación dada de la hipérbola, su centro, focos, vértices y asíntotas se muestra a continuación.
Tutorial Interactivo sobre la Ecuación de una Hipérbola con Eje Transversal Horizontal
Una aplicación para explorar la ecuación de una hipérbola y sus propiedades se presenta ahora. La ecuación utilizada es la ecuación estándar que tiene la forma
\( \dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1\)
La exploración se lleva a cabo cambiando los parámetros \( a, b, h \) y \( k \) incluidos en la ecuación anterior de la hipérbola. Los valores predeterminados, cuando abres esta página, son: \( a = 2, b = 3, h = -1 \) y \( k = 2 \).
Algunas actividades se enumeran a continuación, pero se pueden generar muchas otras actividades.
Haz clic en el botón "Trazar Ecuación" para comenzar.
Pasa el cursor del ratón sobre la gráfica o el punto trazado para leer las coordenadas.
Haz clic en el botón de arriba "Trazar Ecuación". Puedes pasar el cursor del ratón sobre la gráfica para rastrear las coordenadas. También puedes pasar el cursor del ratón sobre la parte superior derecha de la gráfica para tener la opción de descargar la gráfica como un archivo png.
1 - Selecciona un punto M en la gráfica de la hipérbola, pasa el cursor sobre él y lee las coordenadas. Lee las coordenadas de F1 y F2 (leyenda derecha) o pasa el cursor y lee sus coordenadas y muestra que la diferencia de las distancias \( \overline{MF_1} - \overline{MF_2} \) es cercana a \( 2a\) si \( \overline{MF_1} \gt \overline{MF_2} \) o \( - 2a\) si \( \overline{MF_1} \lt \overline{MF_2} \).
Puedes realizar la actividad anterior para diferentes valores de \( a, b, h\) y \( k \) con tantos puntos como sea necesario para comprender mejor la definición de una hipérbola.
2 - Utiliza los valores de \( a \) y \( b \) para encontrar \( c \) usando la relación entre \( a, b\) y \( c \) dada por \( c^2 = a^2 + b^2\).
Utiliza los resultados anteriores para encontrar las coordenadas de \( F_1, F_2, V_1 \) y \( V_2 \) y verifica los resultados gráficamente.
3 - Establece \( a, b, h\) y \( k \) en algunos valores. Encuentra las intersecciones en x e y y verifica tus resultados gráficamente.
4 - Ejercicio:
Demuestra mediante cálculos algebraicos que la siguiente ecuación \( \dfrac{(x + 2)^2}{5} - 5(y-3)^2 = 5 \) es la de una hipérbola y encuentra el centro, focos y vértices de la elipse dada por la ecuación, luego usa la aplicación para graficarla y verifica tus respuestas.
Si es necesario, Papel cuadriculado gratuito está disponible.
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