Revisa Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación que se puede escribir en la forma ax 2 + bx + c = 0 donde a, b y c son constantes con una no es igual a cero. Hay varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. En este tutorial se utiliza el de las fórmulas de segundo grado y el discriminante. Las soluciones de la ecuación anterior están dados por las fórmulas de segundo grado. x 1 = [-b + sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a) y x 2 = [-b - sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a) El término b 2 - 4ac se llama discriminante y proporciona información importante sobre el número y la naturaleza de las soluciones a la ecuación de segundo grado a resolver. Tres casos son posibles: - Si D> 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales. (véase el ejemplo 1 más abajo)
- Si D = 0, la ecuación tiene 1 solución real. (véase el ejemplo 2 más abajo)
- Si D <0, la ecuación tiene 2 soluciones conjugadas imaginario. (véase el ejemplo 3 más adelante)
Ejemplo 1: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática a continuación. x2 + 3x = 4 Solución al Ejemplo 1: - Teniendo en cuenta
x2 + 3x = 4 - Vuelva a escribir la ecuación dada con su mandato derecho igual a cero.
x 2 + 3x - 4 = 0 - Encuentra el discriminante D = b 2 - 4ac
D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (1) (-4) = 25 - Desde el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales, es dado por.
x 1 = [-3 + sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 + 5] / 2 = 1 x 2 = [-3 - sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 - 5] / 2 = -4 Soluciones Check - x = 1
El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 + 3x = 1 2 + 3 (1) = 1 + 3 = 4 El lado derecho de la ecuación y = 4. - x = -4
El lado izquierdo de la ecuación y = (-4) 2 + 3 (-4) = 16 - 12 = 4 El lado derecho de la ecuación y = 4. Conclusión: Las soluciones de la ecuación dada es de 1 y -4. Igualados Ejercicio 1: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática a continuación. x 2 - 3 x + 2 = 0 Respuesta. Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática x 2 / 3 + 3 = 2x Solución al Ejemplo 2: - Teniendo en cuenta
x 2 / 3 + 3 = 2x - Eliminar el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por 3.
3 [x 2 / 3 + 3] = 3 * 2x - Simplificar y volver a escribir la ecuación con el término derecho igual a cero.
x 2 - 6x + 9 = 0 - Usar la fórmula cuadrática. El discriminante D está dada por
D = b 2 - 4ac = (-6) 2 - 4 (1) (9) = 0 - Desde el discriminante es igual a cero, las dos fórmulas da las dos soluciones de la ecuación cuadrática convertido en uno x = -b/2a y la ecuación tiene una solución.
x =-b / 2a = - (-6) / 2 * 1 = 3 Soluciones Check - x = 3
El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 / 3 + 3 = 3 2 / 3 + 3 = 6 El lado derecho de la ecuación y = 2x = 2 (3) = 6. Conclusión Hay una verdadera solución a la ecuación dada: x = 3. Igualados Ejercicio 2. Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática. x 2 / 2 = - 8 - 4x Respuesta. Ejemplo 3: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática x 2 - 4x + 13 = 0 Solución al Ejemplo 3: - Teniendo en cuenta
x 2 - 4x + 13 = 0 - El discriminante D está dada por
D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 (1) (13) = -36 - Desde el discriminante es negativo, la raíz cuadrada del discriminante es un número imaginario puro.
sqrt (D) = sqrt (-36) = sqrt (-1) sqrt (36) = 6i donde i es la unidad imaginaria se define como srqt i = (-1). - Utilice las fórmulas de segundo grado para encontrar las dos soluciones.
x 1 = (4 + 6i)) / (2 * 1) = 2 + 3i x 2 = (4 - 6i) / (2 * 1) = 2 - 3i Soluciones Check - x + 2 = 2^
El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 - 4x + 13 = (2 + 3i) 2 - 4 (2 + 3i) + 13 = 4 - 9 + 12i - 8 - 12i + 13 = 0 El lado derecho de la ecuación = 0 - x + 2 = 2^
El lado izquierdo de la ecuación y = x 2 - 4x + 13 = (2 - 3i) 2 - 4 (2 - 3i) + 13 = 4 - 9 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0 El lado derecho de la ecuación = 0 Conclusión La ecuación dada tiene dos soluciones imaginarias 2 + 3i y 2 - 3i conjugada de la otra. Igualados Ejercicio 3. Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática. x 2 - 4x + 5 = 0 Respuesta.
Ejercicios. (Véanse las respuestas a continuación) Resolver las ecuaciones cuadráticas siguientes a)-x 2 + 2x = -3 b) (1 / 2) x 2 + (1 / 3) x = 1 / 6 c) x 2 + 9 = 0 d) - 0,2 x 2 + 2,0 x = + 5,2 e) [3 x 2 + 2x] / 2 = 2 Por encima de las respuestas a los ejercicios. a) -1, 3 b) -1, 1 / 3 c) 3, i, -3 i d) 5 - i, 5 + i e) sqrt (13) / 3 - 1 / 3, - sqrt (13) / 3 - 1 / 3 Más referencias y enlaces a ecuaciones cuadráticas. |