Resolver ecuaciones de la forma cuadrática - Tutorial

Este es un tutorial en la solución de ecuaciones que pueden reducirse a una forma cuadrática. Soluciones y explicaciones detalladas están incluidos.

Revisa

Una ecuación cuadrática tiene la forma

ax 2 + bx + c = 0

con un no igual a 0.

Hay varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. En este tutorial se utiliza el método de la fórmula cuadrática y el método de factorización.


Ejemplo 1: Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación.

x 4 + x 2 - 6 = 0

Solución al Ejemplo 1:

  • Teniendo en cuenta
    x 4 + x 2 - 6 = 0

  • Puesto que (x 2) 2 = x 4 , u = x 2 y escribir la ecuación en términos de u.
    u 2 + u - 6 = 0

  • Factor de la izquierda.
    (u + 3) (u - 2) = 0

  • Utilice el teorema de factor cero para obtener las ecuaciones simples.
    a) (u + 3) = 0
    b) u - 2 = 0

  • Resolver la ecuación a).
    u = -3

  • Resolver la ecuación b).
    u = 2

  • Utilice el hecho de que u = x 2 la primera solución en u da,
    x 2 = -3

  • y la segunda solución la da.
    x 2 = 2

  • El cuadrado de un número real no puede ser negativo y por lo tanto la ecuación x 2 = -3 no tiene soluciones reales. La segunda ecuación se resuelve mediante la extracción de la raíz cuadrada, y da dos soluciones.
    x = sqrt (2)

    x =-sqrt (2)

Soluciones Check

  1. x = sqrt (2)
    El lado izquierdo de la ecuación y = sqrt (2) 4 + sqrt (2) 2 - 6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    El lado derecho de la ecuación y = 0.

  2. x =-sqrt (2)
    El lado izquierdo de la ecuación = (-sqrt (2)) 4 + (-sqrt (2)) 2 - 6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    El lado derecho de la ecuación y = 0.

Conclusión: las verdaderas soluciones a la ecuación dada se sqrt (2) y -sqrt (2)

Igualados Ejercicio 1: Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación.

x 4 - 2 x 2 - 3 = 0

Respuesta


Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación

2 x + 3 * sqrt (x) = 5

Solución al Ejemplo 2:

  • Teniendo en cuenta
    2 x + 3 * sqrt (x) = 5

  • Tenga en cuenta que sqrt (x) implica x tiene que ser positivo o cero. Desde [sqrt (x)] 2 = x, u = sqrt (x) y escribir la ecuación en términos de u.
    2u 2 + 3u = 5

  • Vuelva a escribir la ecuación con el lado derecho igual a 0.
    2u 2 + 3u - 5 = 0

  • Usar la fórmula cuadrática. El discriminante D está dada por
    D = b 2 - 4ac
    = (3) 2 - 4 (2) (-5)
    = 49

  • Usar la fórmula cuadrática a escribir las dos soluciones de la siguiente manera.
    u 1 = (-b + sqrt (D)) / 2a
    y
    u 2 = (-b - sqrt (D)) / 2a

  • Suplente B, D y una de sus valores.
    u 1 = (-3 + sqrt (49)) / 4
    y
    u 2 = (-3 - sqrt (49)) / 4

  • Simplifique las expresiones anteriores.
    u 1 = 1 y U 2 = -5 / 2

  • Ahora usamos el hecho de que u = sqrt (x) y resolver para x. U La primera solución 1 da
    sqrt (x) = 1

  • Plaza de ambos lados para obtener
    x = 1

  • U La segunda solución, 2 da
    sqrt (x) = -5 / 2

  • Esta última ecuación no tiene soluciones reales desde la raíz cuadrada de un número positivo real debe ser un número real positivo.

Soluciones Check x = 1 Left Side = 2 (1) + 3 * sqrt (1)
= 5
Lado derecho = 5

Conclusión
La verdadera solución a la ecuación dada es x = 1.

Igualados Ejercicio 2. Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación.

x - 3 * sqrt (x) - 4 = 0

Respuesta

Más referencias y enlaces sobre la forma de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades.






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Actualizado: 25 de noviembre de 2007 (A Dendane)

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