Este es un tutorial en la solución de ecuaciones que pueden reducirse a una forma cuadrática. Soluciones y explicaciones detalladas están incluidos.
Revisa
Una ecuación cuadrática tiene la forma
ax 2 + bx + c = 0
con un no igual a 0.
Hay varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. En este tutorial se utiliza el método de la fórmula cuadrática y el método de factorización.
Ejemplo 1: Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación.
x 4 + x 2 - 6 = 0
Solución al Ejemplo 1:
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Teniendo en cuenta
x 4 + x 2 - 6 = 0
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Puesto que (x 2) 2 = x 4 , u = x 2 y escribir la ecuación en términos de u.
u 2 + u - 6 = 0
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Factor de la izquierda.
(u + 3) (u - 2) = 0
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Utilice el teorema de factor cero para obtener las ecuaciones simples.
a) (u + 3) = 0 b) u - 2 = 0
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Resolver la ecuación a).
u = -3
-
Resolver la ecuación b).
u = 2
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Utilice el hecho de que u = x 2 la primera solución en u da,
x 2 = -3
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y la segunda solución la da.
x 2 = 2
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El cuadrado de un número real no puede ser negativo y por lo tanto la ecuación x 2 = -3 no tiene soluciones reales. La segunda ecuación se resuelve mediante la extracción de la raíz cuadrada, y da dos soluciones.
x = sqrt (2) x =-sqrt (2)
Soluciones Check
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x = sqrt (2)
El lado izquierdo de la ecuación y = sqrt (2) 4 + sqrt (2) 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 El lado derecho de la ecuación y = 0.
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x =-sqrt (2)
El lado izquierdo de la ecuación = (-sqrt (2)) 4 + (-sqrt (2)) 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 El lado derecho de la ecuación y = 0.
Conclusión: las verdaderas soluciones a la ecuación dada se sqrt (2) y -sqrt (2)
Igualados Ejercicio 1: Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación.
x 4 - 2 x 2 - 3 = 0
Respuesta
Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación
2 x + 3 * sqrt (x) = 5
Solución al Ejemplo 2:
-
Teniendo en cuenta
2 x + 3 * sqrt (x) = 5
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Tenga en cuenta que sqrt (x) implica x tiene que ser positivo o cero. Desde [sqrt (x)] 2 = x, u = sqrt (x) y escribir la ecuación en términos de u.
2u 2 + 3u = 5
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Vuelva a escribir la ecuación con el lado derecho igual a 0.
2u 2 + 3u - 5 = 0
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Usar la fórmula cuadrática. El discriminante D está dada por
D = b 2 - 4ac = (3) 2 - 4 (2) (-5) = 49
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Usar la fórmula cuadrática a escribir las dos soluciones de la siguiente manera.
u 1 = (-b + sqrt (D)) / 2a y u 2 = (-b - sqrt (D)) / 2a
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Suplente B, D y una de sus valores.
u 1 = (-3 + sqrt (49)) / 4 y u 2 = (-3 - sqrt (49)) / 4
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Simplifique las expresiones anteriores.
u 1 = 1 y U 2 = -5 / 2
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Ahora usamos el hecho de que u = sqrt (x) y resolver para x. U La primera solución 1 da
sqrt (x) = 1
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Plaza de ambos lados para obtener
x = 1
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U La segunda solución, 2 da
sqrt (x) = -5 / 2
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Esta última ecuación no tiene soluciones reales desde la raíz cuadrada de un número positivo real debe ser un número real positivo.
Soluciones Check x = 1 Left Side = 2 (1) + 3 * sqrt (1) = 5 Lado derecho = 5
Conclusión La verdadera solución a la ecuación dada es x = 1.
Igualados Ejercicio 2. Encuentre todas las soluciones reales a la ecuación.
x - 3 * sqrt (x) - 4 = 0
Respuesta
Más referencias y enlaces sobre la forma de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades.
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