Una ecuación es un enunciado que muestra la igualdad de dos expresiones matemáticas. Una ecuación siempre contiene un signo igual y tiene un **lado izquierdo** y un **lado derecho**.
Ejemplos de ecuaciones:
\( 3x + 3 = 2x + 4 \) El lado izquierdo es \( 3x + 3 \) y el lado derecho es \( 2x + 4 \).
\( 2x + 3y = 2 - 2x \) Esta es una ecuación con dos variables \( x \) y \( y \).
Si sustituimos \( x = -3 \) en la ecuación \( 2x + 8 = -2x - 4 \), obtenemos:
Lado izquierdo: \[ 2x + 8 = 2(-3) + 8 = -6 + 8 = 2 \]
Lado derecho: \[ -2x - 4 = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 \]
Dado que ambos lados son iguales a 2, la sustitución da un enunciado verdadero. Por lo tanto, \( -3 \) es la solución o raíz de la ecuación \( 2x + 8 = -2x - 4 \). El conjunto de todas las soluciones se llama el conjunto solución.
Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.
Ejemplo: Las siguientes ecuaciones tienen todas la solución \( x = 0 \), por lo tanto son equivalentes:
\( -3x + 2 = x + 2 \)
\( -3x = x \)
\( x = 0 \)
Si sumamos el mismo número o expresión a ambos lados de una ecuación, el conjunto solución no cambia.
\[ \text{Si } A = B,\ \text{entonces } A + C = B + C. \]
Ejemplo:
Las ecuaciones
\( 2x + 3 = 5 \)
y
\( 2x + 3 + (-3) = 5 + (-3) \)
ambas tienen la misma solución \( x = 1 \).
Si multiplicamos ambos lados de una ecuación por el mismo número o expresión distinta de cero, el conjunto solución no cambia.
\[ \text{Si } A = B,\ \text{entonces } C \cdot A = C \cdot B, \quad C \ne 0. \]
Ejemplo:
Las ecuaciones
\( \dfrac{x}{2} = 4 \)
y
\( 2 \cdot \dfrac{x}{2} = 2 \cdot 4 \)
ambas tienen la misma solución \( x = 8 \).