Resolver Ecuaciones con Raíz Cúbica \( \sqrt[3]{x} \)

Tutorial sobre cómo resolver ecuaciones que contienen raíces cúbicas. Se incluyen soluciones detalladas, explicaciones y ejercicios.

La idea detrás de la resolución de ecuaciones que contienen raíces cúbicas es elevar ambos lados a la potencia 3 para eliminar la raíz cúbica utilizando la propiedad

\[ (\sqrt[3]{x})^3 = x \]

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación

\(\sqrt[3]{x} - x = 0\)

Solución al Ejemplo 1

• Reescribe la ecuación con la raíz cúbica aislada. \[ \sqrt[3]{x} = x \]
• Eleva ambos lados a la potencia 3. \[ (\sqrt[3]{x})^3 = x^3 \]
• Reescribe con el lado derecho igual a cero. \[ x - x^3 = 0 \]
• Factoriza. \[ x(1 - x^2) = 0 \]
• Resuelve para \(x\). Soluciones: \(x = 0,\; x = -1,\; x = 1\).

Verifica las soluciones

1. \(x = 0\)

LI: \(\sqrt[3]{0} - 0 = 0\)    LD: \(0\)

2. \(x = -1\)

LI: \(\sqrt[3]{-1} - (-1) = -1 + 1 = 0\)    LD: \(0\)

3. \(x = 1\)

LI: \(\sqrt[3]{1} - 1 = 0\)    LD: \(0\)

Ejemplo 2

Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación

\( \sqrt[3]{x^2 + 2x + 8} = 2 \)

Solución al Ejemplo 2

• Dado: \[ \sqrt[3]{x^2 + 2x + 8} = 2 \]
• Eleva ambos lados a la potencia 3. \[ (\sqrt[3]{x^2 + 2x + 8})^3 = 2^3 \]
• Simplifica. \[ x^2 + 2x + 8 = 8 \]
• Reescribe con el lado derecho igual a cero. \[ x^2 + 2x = 0 \]
• Factoriza. \[ x(x + 2) = 0 \]
• Resuelve. \[ x = 0,\; x = -2 \]

Verificando como ejercicio

1. \(x = 0\)   LI: \(\sqrt[3]{8} = 2\)   LD: \(2\)

2. \(x = -2\)   LI: \(\sqrt[3]{8} = 2\)   LD: \(2\)

Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1. \( \sqrt[3]{x} - 4x = 0 \)
2. \( \sqrt[3]{x^2 + 2x + 61} = 4 \)

Soluciones

1. \( x = 0,\; x = \dfrac{1}{8},\; x = -\dfrac{1}{8} \)
2. \( x = 1,\; x = -3 \)

Referencias y Enlaces

Resolver Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades