Se presenta la demostración analítica de la fórmula cuadrática utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas. Ejemplos muestran cómo aplicar la fórmula cuadrática y el discriminante para resolver diferentes ecuaciones cuadráticas con explicaciones detalladas.
Una ecuación cuadrática en forma estándar viene dada por:
\[ a x^2 + b x + c = 0 \]
donde \(a \neq 0\) y \(a, b, c\) son constantes.
Resuelve la ecuación anterior para encontrar la fórmula cuadrática:
Resuelve la ecuación:
\[ 2x^2 - 7x + 4 = 0 \]
Coeficientes: \(a = 2, b = -7, c = 4\)
Discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(4) = 17\)
Dado que \(\Delta > 0\), dos soluciones reales usando la fórmula cuadrática:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{4}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{4} \]
Resuelve la ecuación:
\[ x^2 - 2x + 5 = 0 \]
Coeficientes: \(a = 1, b = -2, c = 5\)
Discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = -16\)
Dado que \(\Delta < 0\), dos soluciones complejas. Sea \(i = \sqrt{-1}\).
\[ x_1 = 1 + 2i, \quad x_2 = 1 - 2i \]
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \[ 2x^2 + 3x = -9 \]?
Forma estándar: \[ 2x^2 + 3x + 9 = 0 \]
Coeficientes: \(a = 2, b = 3, c = 9\)
Discriminante: \(\Delta = 3^2 - 4(2)(9) = -63 < 0\), por lo tanto dos soluciones complejas.
Encuentra todos los valores de \(m\) tales que \[ x^2 + m x + 4 = 0 \] tenga dos soluciones reales.
Coeficientes: \(a = 1, b = m, c = 4\)
Discriminante: \(\Delta = m^2 - 16 > 0\)
Resuelve la desigualdad: \((m-4)(m+4) > 0\)
Intervalo de solución: \(m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)\)
Encuentra todos los valores de \(k\) tales que \[ -x^2 + (k+1)x - 2 = k \] tenga una sola solución.
Forma estándar: \[ -x^2 + (k+1)x - 2 - k = 0 \]
Coeficientes: \(a = -1, b = k+1, c = -2 - k\)
Discriminante: \(\Delta = (k+1)^2 - 4(-1)(-2 - k) = k^2 - 2k - 7\)
Resuelve \(\Delta = 0\):
\[ k_1 = 1 + 2\sqrt{2}, \quad k_2 = 1 - 2\sqrt{2} \]
Usando cualquiera de los valores de \(k\) en la ecuación original se obtiene una sola solución.