Soluciones detalladas y explicaciones a las preguntas en Resolver Ecuaciones Cuadráticas Usando Discriminantes.
Dada la ecuación cuadrática
\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]Identificar los coeficientes:
\[ a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \]Discriminante:
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1 \]Como \(D > 0\), hay dos soluciones reales:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]Dada
\[ \frac{x^2}{2} = -8 - 4x \]Multiplicar ambos lados por 2 y simplificar:
\[ x^2 + 8x + 16 = 0 \]Coeficientes:
\[ a = 1, \quad b = 8, \quad c = 16 \] \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(16) = 0 \]Como \(D = 0\), hay una solución real:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2} = -4 \]Dada
\[ x^2 - 4x + 5 = 0 \]Coeficientes:
\[ a = 1, \quad b = -4, \quad c = 5 \] \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(5) = -4 \]Como \(D < 0\), hay dos soluciones complejas:
\[ x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{-4}}{2} = 2 + i \] \[ x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{-4}}{2} = 2 - i \]donde \(i = \sqrt{-1}\) es la unidad imaginaria.
Dada
\[ x^2 + x + m + 1 = 0 \]Coeficientes:
\[ a = 1, \quad b = 1, \quad c = m+1 \] \[ D = b^2 - 4ac = 1 - 4(m+1) = -3 - 4m \]Para una solución, \(D = 0\):
\[ -3 - 4m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = -\frac{3}{4} \]Para dos soluciones reales, \(D > 0\):
\[ -3 - 4m > 0 \quad \Rightarrow \quad m \in (-\infty, -3/4) \]Para dos soluciones complejas, \(D < 0\):
\[ -3 - 4m < 0 \quad \Rightarrow \quad m \in (-3/4, +\infty) \]