Resolver Ecuaciones por Sustitución

El poderoso método de sustitución se utiliza para resolver diferentes tipos de ecuaciones.

Ejemplos con Soluciones

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación:

\(x - 3\sqrt{x} = -2\)

Solución al Ejemplo 1

• Sea \(u = \sqrt{x}\), entonces \(u^2 = x\). Sustituyendo se obtiene:

\[u^2 - 3u = -2\]

• Reescribe como una ecuación cuadrática:

\[u^2 - 3u + 2 = 0\]

• Resuelve para \(u\):

\[u = 1 \quad \text{o} \quad u = 2\]

• Sustituye de nuevo \(u = \sqrt{x}\) y resuelve para \(x\):

\[\sqrt{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1\]

\[\sqrt{x} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 4\]

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación:

\(\frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} - 2 = 0\)

Solución al Ejemplo 2

• Sea \(u = \frac{1}{x-1}\). Sustituyendo se obtiene:

\[u^2 - u - 2 = 0\]

• Resuelve para \(u\):

\[u = -1 \quad \text{o} \quad u = 2\]

• Sustituye de nuevo y resuelve para \(x\):

\[\frac{1}{x-1} = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 0\]

\[\frac{1}{x-1} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}\]

Ejemplo 3

Resuelve la ecuación:

\(-(x+3)^6 + 4(x+3)^3 = -21\)

Solución al Ejemplo 3

• Sea \(u = (x+3)^3\). Sustituyendo se obtiene:

\[-u^2 + 4u = -21 \quad \Rightarrow \quad u^2 - 4u - 21 = 0\]

• Resuelve para \(u\):

\[u = -3 \quad \text{o} \quad u = 7\]

• Sustituye de nuevo y resuelve para \(x\):

\[(x+3)^3 = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -3 - \sqrt[3]{3}\]

\[(x+3)^3 = 7 \quad \Rightarrow \quad x = -3 + \sqrt[3]{7}\]

Ejemplo 4

Resuelve la ecuación:

\(3e^{2x} - e^x - 2 = 0\)

Solución al Ejemplo 4

• Sea \(u = e^x\), entonces \(u^2 = e^{2x}\). Sustituyendo se obtiene:

\[3u^2 - u - 2 = 0\]

• Resuelve para \(u\):

\[u = 1 \quad \text{o} \quad u = -\frac{2}{3}\]

• Sustituye de nuevo \(u = e^x\) y resuelve para \(x\):

\[e^x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0\]

\[e^x = -\frac{2}{3} \quad \text{no tiene solución ya que } e^x > 0\]

Ejemplo 5

Resuelve la ecuación en el intervalo \([0, 2\pi)\):

\(\sin^2 x - 4\sin x - 5 = 0\)

Solución al Ejemplo 5

• Sea \(u = \sin x\). Sustituyendo se obtiene:

\[u^2 - 4u - 5 = 0\]

• Resuelve para \(u\):

\[u = -1 \quad \text{o} \quad u = 5\]

• Sustituye de nuevo \(\sin x = u\) y resuelve:

\[\sin x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{2}\]

\[\sin x = 5 \quad \text{no tiene solución ya que } -1 \le \sin x \le 1\]

Más Referencias y Enlaces

Resolver Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades