Este tutorial presenta preguntas sobre cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando el discriminante y la fórmula cuadrática con soluciones detalladas paso a paso. Explicamos cómo el signo del discriminante afecta el número y tipo de soluciones. Preguntas y soluciones adicionales se proporcionan al final de esta página.
Más preguntas de ecuaciones cuadráticas y soluciones, así como un Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas Paso a Paso, están incluidos.
Una ecuación cuadrática en una variable tiene la forma:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \] donde \(a \neq 0\) y \(a, b, c\) son constantes.
Las soluciones están dadas por la fórmula cuadrática:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
El discriminante es la cantidad:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
El discriminante determina el número y naturaleza de las soluciones:
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ x^2 + 3x = 4 \]Reescribe con cero en el lado derecho:
\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]Discriminante:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 25 \]Como \(\Delta > 0\), existen dos soluciones reales:
\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = -4 \]Verificación:
\[ x = 1 \Rightarrow 1^2 + 3(1) = 4, \quad x = -4 \Rightarrow (-4)^2 + 3(-4) = 4 \]Conclusión: Soluciones: \(x = 1, -4\)
Resuelve:
\[ \frac{x^2}{3} + 3 = 2x \]Multiplica por 3:
\[ x^2 + 9 = 6x \quad \Rightarrow \quad x^2 - 6x + 9 = 0 \]Discriminante:
\[ \Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 0 \]Solución única:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \]Verificación: \(\frac{3^2}{3} + 3 = 6 = 2 \cdot 3\)
Conclusión: Una solución real: \(x = 3\)
Resuelve:
\[ x^2 - 4x + 13 = 0 \]Discriminante:
\[ \Delta = (-4)^2 - 4(1)(13) = -36 \]Como \(\Delta < 0\), las soluciones son complejas:
\[ x_1 = \frac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i, \quad x_2 = \frac{4 - 6i}{2} = 2 - 3i \]Conclusión: Dos soluciones complejas conjugadas: \(x = 2 + 3i, 2 - 3i\)
Resuelve para \(m\) en:
\[ x^2 + mx + 1 = 0 \]