Resolver ecuaciones por sustitución

El poderoso método de sustitución se utiliza para resolver diferentes tipos de ecuaciones.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación

x - 3 sqrt (x) = - 2

Solución al Ejemplo 1:

  • Sea u = sqrt (x) de manera que u 2 = x. Ahora sustituimos x y sqrt (x) por u y U 2, respectivamente, para obtener una ecuación en la U.
    u 2 - 3u = -2

  • Lo anterior es una ecuación de segundo grado; reescribir de forma que su término adecuado es igual a cero.
    u 2 - 3 u + 2 = 0

  • Utilice cualquier método para resolver la ecuación anterior para u obtener:
    u = 1 , u = 2

  • Ahora sustitución u por sqrt (x) y resolver para x
    sqrt (x) = 1 , sqrt (x) = 2

    x = 1 , x = 4

Ejemplo 2: Utilice el método de Sustitución para resolver la ecuación de

1 / (x - 1) 2 - 1 / (x - 1) - 2 = 0

Solución al Ejemplo 2:

  • Sea u = 1 / (x - 1) y hacer la sustitución en la ecuación de arriba para obtener una ecuación en la U.
    u 2 - u - 2 = 0

  • Resolver la ecuación cuadrática de arriba para obtener:
    u = - 1 , u = 2

  • Ahora sustituir u por 1 / (x - 1) y resolver para x
    1 / (x - 1) = - 1 , 1 / (x - 1) = 2

    x = 0 , x = 3/2

Ejemplo 3: Utilice el método de Sustitución para resolver la ecuación de

- (X + 3) 6 + 4 (x + 3) 3 = - 21

Solución al Ejemplo 3:

  • Sea u = (x + 3) 3 y de sustitución en la ecuación de arriba para obtener una ecuación en la U.
    - u 2 + 4 u = -21

    u 2 - 4 u - 21 = 0

  • Resolver la ecuación cuadrática de arriba para obtener:
    u = - 3 , u = 7

  • Ahora sustituir u por (x + 3) 3 y resolver para x
    (x + 3) 3 = - 3 , (x + 3) 3 = 7

  • Ahora resolvemos para x

    x = - 3 - raíz cúbica (3)

    ,

    x = - 3 + raíz cúbica (7)

Ejemplo 4: Utilizar el método de Sustitución para resolver la ecuación de

3 e 2 x - e x - 2 = 0

Solución del Ejemplo 4:

  • Sea u = e x de modo que u 2 = e 2 x y de sustitución en la ecuación anterior para obtener:
    3 u 2 - u - 2 = 0

  • Utilice cualquier método para resolver la ecuación cuadrática anterior.
    u = 1

    ,

    u = - 2 / 3

  • Ahora sustituimos por correo u x y resolver para x
    e x = 1 , e x = - 2 / 3

  • Ahora resolver e x = 1 para obtener:

    x = 0

  • La segunda ecuación E = x - 2 / 3 no tiene solución, ya que e x es siempre positivo.


Ejemplo 5: Utilice el método de Sustitución para resolver la ecuación de

sen 2 x - 4 sen x - 5 = 0
para x en el intervalo [0, 2 Pi). Dar x en radianes.

Solución del Ejemplo 5:

  • Let u = sen x y sustituir en la ecuación anterior para obtener:
    u 2 - 4 u - 5 = 0

  • Resolver la ecuación cuadrática anterior.
    u = - 1

    o

    u = 5

  • Ahora sustituir u por el pecado x y resolver para x
    sen x = - 1 o sen x = 5

  • Resolvemos sen x = - 1 para obtener:

    x = 3 Pi / 2

  • La gama de sen x es el conjunto de valores en el pecado intervalo [- 1, 1] y por lo tanto la ecuación x = 5 no tiene solución.

Más referencias y enlaces sobre la forma de resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones y desigualdades.


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Actualizado: 25 de noviembre de 2007 (A Dendane)