Se presentan problemas sobre figuras 3D como prismas, cubos, cilindros y sólidos compuestos, junto con soluciones detalladas.
Un prisma rectangular de volumen \(3200 \text{ mm}^3\) tiene una base rectangular de largo \(10 \text{ mm}\) y ancho \(8 \text{ mm}\). Halla la altura \(h\) del prisma.
El volumen está dado por
\[ V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{altura} \] \[ V = 10 \text{ mm} \times 8 \text{ mm} \times h \] \[ 3200 \text{ mm}^3 = 80h \]Despeja \(h\)
\[ h = \frac{3200}{80} = 40 \text{ mm} \]El área de una cara cuadrada de un cubo es igual a \(64 \text{ cm}^2\). Halla el volumen del cubo.
El área de una cara cuadrada está dada por
\[ s \times s = 64 \]Despeja \(s\)
\[ s = \sqrt{64} = 8 \text{ cm} \]El volumen \(V\) del cubo está dado por
\[ V = s^3 \] \[ V = 8^3 = 512 \text{ cm}^3 \]La base triangular de un prisma es un triángulo rectángulo de lados \(a\) y \(b = 2a\). La altura \(h\) del prisma es igual a \(10 \text{ mm}\) y su volumen es igual a \(40 \text{ mm}^3\). Halla las longitudes de los lados \(a\) y \(b\).
El volumen \(V\) del prisma está dado por
\[ V = \frac{1}{2}ab h \] \[ 40 = \frac{1}{2}ab(10) \]Sustituye \(b = 2a\)
\[ 40 = \frac{1}{2}a(2a)(10) \] \[ 40 = 10a^2 \]Despeja \(a\) y calcula \(b\)
\[ a^2 = 4 \] \[ a = 2 \text{ mm} \] \[ b = 2a = 4 \text{ mm} \]Halla el volumen de la estructura rectangular con forma de L dada.
Podemos pensar en la forma dada como un prisma rectangular más grande de dimensiones \(60\), \(80\) y \(10 \text{ mm}\), del cual se ha extraído un prisma más pequeño de dimensiones \(40\), \(60\) y \(10 \text{ mm}\).
\[ V = 60 \times 80 \times 10 - 40 \times 60 \times 10 \] \[ V = 48000 - 24000 \] \[ V = 24000 \text{ mm}^3 \]Halla el espesor \(x\) del cilindro hueco de altura \(1000 \text{ mm}\) si el volumen entre los cilindros interior y exterior es igual a \(11000\pi \text{ mm}^3\) y el diámetro exterior es \(12 \text{ mm}\).
Si \(R\) y \(r\) son los radios exterior e interior del cilindro hueco, el volumen \(V\) entre los cilindros está dado por
\[ V = h\pi(R^2 - r^2) \] \[ 11000\pi = 1000\pi(36 - r^2) \]Despeja \(r\)
\[ 11000 = 1000(36 - r^2) \] \[ 11 = 36 - r^2 \] \[ r^2 = 25 \] \[ r = 5 \text{ mm} \]Halla el espesor
\[ x = R - r = 6 - 5 = 1 \text{ mm} \]Halla \(x\) para que el volumen de la estructura rectangular con forma de U sea igual a \(165 \text{ cm}^3\).
Podemos pensar en la forma dada como un prisma rectangular más grande de dimensiones \(8\), \(3\) y \(10 \text{ cm}\), del cual se ha extraído un prisma más pequeño de dimensiones \(x\), \(x\) y \(3 \text{ cm}\).
\[ V = 8 \times 3 \times 10 - 3x^2 \] \[ 240 - 3x^2 = 165 \] \[ 75 = 3x^2 \] \[ x^2 = 25 \] \[ x = 5 \text{ cm} \]Halla el volumen del prisma hexagonal cuya base es un hexágono regular de lado \(x = 10 \text{ cm}\).
El hexágono está compuesto por 6 triángulos equiláteros. Por lo tanto, el área \(A\) de la base es
\[ A = 6\left(\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\right) \] \[ A = 6\left(\frac{100\sqrt{3}}{4}\right) \] \[ A = 150\sqrt{3} \]Si la altura del prisma es \(24 \text{ cm}\), entonces el volumen \(V\) es
\[ V = 24 \times 150\sqrt{3} \] \[ V \approx 6235.4 \text{ cm}^3 \]