Triángulo, Bisectrices y Radio de la Circunferencia Circunscrita

Radio de una Circunferencia Circunscrita

Dado un triángulo con vértices A, B y C, podemos encontrar una fórmula para el radio R de su circunferencia circunscrita (circunradio).
Sea L1 la bisectriz perpendicular de BC, L2 la bisectriz perpendicular de AC y L3 la bisectriz perpendicular de AB. Estas tres líneas son concurrentes en el punto O, llamado circuncentro. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices A, B y C.

La fórmula del circunradio \( R \) (radio de la circunferencia circunscrita) está dada por:

Problemas de Práctica sobre Circunferencias Circunscritas

Problema 1: Dos Métodos para Encontrar el Circunradio

Un triángulo tiene longitudes de lado \(a = BC = 13 \, \text{cm}\), \(b = AC = 14 \, \text{cm}\) y \(c = AB = 15 \, \text{cm}\). Encuentra el circunradio \(R\) usando dos enfoques diferentes.

Método 1: Fórmula de Herón y Método del Área

• Semiperímetro: \(s = \dfrac{a+b+c}{2} = \dfrac{13+14+15}{2} = 21 \, \text{cm}\).
• Área usando la fórmula de Herón: \(\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \, \text{cm}^2\).
• Encontrar \(\sin(A)\) usando \(\Delta = \frac{1}{2}bc\sin(A)\): \(\sin(A) = \dfrac{2\Delta}{bc} = \dfrac{2 \times 84}{14 \times 15} = \dfrac{168}{210} = \dfrac{4}{5} = 0.8\).
• Calcular \(R\): \(R = \dfrac{a}{2\sin(A)} = \dfrac{13}{2 \times 0.8} = \dfrac{13}{1.6} = 8.125 \, \text{cm}\).

Método 2: Teorema del Coseno e Identidad Trigonométrica

• Aplicar el teorema del coseno para encontrar \(\cos(A)\): \(\cos(A) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2 \times 14 \times 15}\).
• \(\cos(A) = \dfrac{196 + 225 - 169}{420} = \dfrac{252}{420} = \dfrac{3}{5} = 0.6\).
• Encontrar \(\sin(A)\) usando \(\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1\): \(\sin(A) = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8\).
• Calcular \(R\): \(R = \dfrac{a}{2\sin(A)} = \dfrac{13}{2 \times 0.8} = 8.125 \, \text{cm}\).

Conclusión: Ambos métodos producen el mismo circunradio \(R = 8.125 \, \text{cm}\), confirmando la consistencia de las fórmulas.

Problema 2: Triángulo Rectángulo, Circuncentro y Teorema de Tales

Un triángulo tiene vértices en \(A(0,0)\), \(B(6,0)\) y \(C(0,8)\).

Parte a: Encuentra el circuncentro \(O\) y el circunradio \(R\). Verifica que \(OA = OB = OC\).

Parte b: Demuestra que \(BC\) es el diámetro de la circunferencia circunscrita y relaciona esto con el teorema de Tales.

Solución:

Parte a:

• El triángulo es rectángulo en \(A\) porque \(AB\) se encuentra en el eje x y \(AC\) en el eje y.
• En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa \(BC\).
• \(B(6,0)\) y \(C(0,8)\): punto medio \(O = \left( \dfrac{6+0}{2}, \dfrac{0+8}{2} \right) = (3, 4)\).
• El circunradio \(R\) es la distancia desde \(O\) a cualquier vértice:
  \(R = OA = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\).
  \(OB = \sqrt{(3-6)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\).
  \(OC = \sqrt{(3-0)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\).
• Por lo tanto, \(OA = OB = OC = R = 5\), confirmando que \(O\) es equidistante de los tres vértices.

Parte b:

• Longitud de la hipotenusa \(BC = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).
• Diámetro de la circunferencia circunscrita \(= 2R = 2 \times 5 = 10\).
• Dado que \(BC = 2R\), el lado \(BC\) es exactamente el diámetro de la circunferencia circunscrita.
• El teorema de Tales establece que un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto. Aquí, \(\angle BAC = 90^\circ\) y subtiende el diámetro \(BC\). Por lo tanto, los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) se encuentran en un círculo con diámetro \(BC\), demostrando el teorema de Tales para este triángulo.

Más Referencias y Enlaces a Problemas de Geometría