En geometría, una reflexión es una transformación que mapea un punto a su imagen especular a través de una línea. La línea se llama línea espejo o eje de reflexión. La reflexión preserva distancias y ángulos, convirtiéndola en una isometría (transformación que preserva la distancia).
Dada una línea \(L: ax + by + c = 0\) y un punto \(P(x_0, y_0)\), el punto reflejado \(P'(x', y')\) viene dado por:
Donde \(d = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) es la distancia con signo desde el punto \(P\) a la línea.
Ajusta los parámetros de la línea o arrastra el punto para ver su reflexión en tiempo real.
Azul: punto original | Rojo: punto reflejado | Discontinua: línea espejo
Encuentra la reflexión del punto \(P(4, 3)\) sobre la línea \(L: 2x - y + 1 = 0\).
Paso 1: Identificar coeficientes: \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 1\).
Paso 2: Calcular \(d = \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2} = \frac{2(4) + (-1)(3) + 1}{2^2 + (-1)^2} = \frac{8 - 3 + 1}{4 + 1} = \frac{6}{5} = 1.2\).
Paso 3: Aplicar la fórmula de reflexión:
\[ \begin{aligned} x' &= x_0 - 2a d = 4 - 2(2)(1.2) = 4 - 4.8 = -0.8 \\ y' &= y_0 - 2b d = 3 - 2(-1)(1.2) = 3 + 2.4 = 5.4 \end{aligned} \]Por lo tanto, el punto reflejado es \(P'(-0.8, 5.4)\).
Reflejar \(Q(5, -2)\) sobre \(y = x\).
Para \(y = x\), la transformación simplemente intercambia coordenadas: \((x, y) \to (y, x)\).
Por lo tanto, \(Q'( -2, 5 )\).
Podemos verificar usando la fórmula con \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 0\) (ya que \(x - y = 0\)):
\[ d = \frac{5 - (-2)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{7}{2} = 3.5 \] \[ x' = 5 - 2(1)(3.5) = 5 - 7 = -2 \] \[ y' = -2 - 2(-1)(3.5) = -2 + 7 = 5 \]Coincidiendo con el resultado \((-2, 5)\).
Reflejar \(R(3, 4)\) sobre la línea \(3x - 4y + 7 = 0\).
Comprobar si \(R\) está en la línea: \(3(3) - 4(4) + 7 = 9 - 16 + 7 = 0\).
Dado que el punto está en la línea, permanece fijo: \(R' = R(3, 4)\).
La fórmula lo confirma: \(d = 0\) → \(x' = 3\), \(y' = 4\).
La reflexión preserva distancias: si \(P\) y \(Q\) son dos puntos, y \(P'\) y \(Q'\) son sus reflexiones, entonces \[ \text{dist}(P, Q) = \text{dist}(P', Q') \] También preserva los ángulos, lo que la convierte en un movimiento rígido. La reflexión invierte la orientación (quiralidad) — es una rotación impropia.
Encuentra la reflexión de \((-2, 5)\) sobre la línea \(x = 3\).
Pista: línea vertical — la coordenada y permanece igual.
Refleja \((1, -3)\) sobre la línea \(y = -\frac{1}{2}x + 2\).
Demuestra que reflejar un punto dos veces sobre la misma línea devuelve el punto original.