Las alturas, medianas y bisectrices de un triángulo son rectas especiales importantes con propiedades únicas. Esta página presenta sus definiciones y problemas con soluciones.
Una altura de un triángulo es un segmento de recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. Las tres alturas de cualquier triángulo se intersecan en un solo punto llamado ortocentro, que puede estar dentro o fuera del triángulo.
Ejemplo de triángulo con ortocentro interior:
Ejemplo de triángulo con ortocentro exterior:
Una mediana de un triángulo es un segmento de recta desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se intersecan en el baricentro, que es el centro de masa del triángulo.
Para un triángulo con vértices \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\) y \(C(x_C, y_C)\), las coordenadas del baricentro son:
\[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) \]Una bisectriz divide un ángulo interior en dos ángulos iguales. Las tres bisectrices se intersecan en el incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.
Para un triángulo con lados de longitudes \(a\), \(b\), \(c\) opuestos a los vértices \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\) y \(C(x_C, y_C)\) respectivamente, las coordenadas del incentro son:
\[ I = \left( \frac{a \cdot x_A + b \cdot x_B + c \cdot x_C}{a + b + c}, \frac{a \cdot y_A + b \cdot y_B + c \cdot y_C}{a + b + c} \right) \]Problema 1
Encuentra el baricentro del triángulo con vértices \(A(-2, 0)\), \(B(4, 3)\) y \(C(1, 6)\).
Problema 2
Encuentra el incentro del triángulo con vértices \(A(-1, 0)\), \(B(3, 3)\) y \(C(3, -3)\).
Problema 3
Encuentra el ortocentro del triángulo con vértices \(A(0, 0)\), \(B(5, 0)\) y \(C(3, 3)\).
Solución al Problema 1
Usando la fórmula del baricentro:
\[
x_G = \frac{-2 + 4 + 1}{3} = 1, \quad y_G = \frac{0 + 3 + 6}{3} = 3
\]
Por lo tanto, el baricentro está en \(G(1, 3)\).
Solución al Problema 2
Primero calculamos las longitudes de los lados:
\(a = BC = \sqrt{(3-3)^2 + (3-(-3))^2} = 6\)
\(b = CA = \sqrt{(-1-3)^2 + (0-(-3))^2} = 5\)
\(c = AB = \sqrt{(-1-3)^2 + (0-3)^2} = 5\)
Usando la fórmula del incentro:
\[
x_I = \frac{6(-1) + 5(3) + 5(3)}{6+5+5} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}
\]
\[
y_I = \frac{6(0) + 5(3) + 5(-3)}{16} = 0
\]
Por lo tanto, el incentro está en \(I\left(\frac{3}{2}, 0\right)\).
Solución al Problema 3
El ortocentro es la intersección de las alturas.
1. Altura que pasa por \(C\): Dado que \(AB\) es horizontal (pendiente 0), la altura que pasa por \(C(3,3)\) es vertical: \(x = 3\).
2. Altura que pasa por \(A\): Pendiente de \(BC = \frac{3-0}{3-5} = -\frac{3}{2}\).
Pendiente perpendicular = \(\frac{2}{3}\).
Ecuación que pasa por \(A(0,0)\): \(y = \frac{2}{3}x\).
Intersección de \(x=3\) y \(y=\frac{2}{3}x\): \(y = \frac{2}{3}(3) = 2\).
Por lo tanto, el ortocentro está en \(H(3, 2)\).
