Triángulo Equilátero Dentro de un Cuadrado – Demostración Detallada

En la figura siguiente, \(ABCD\) es un cuadrado. Demostramos que el triángulo \(DMC\) es equilátero utilizando triángulos congruentes y trigonometría.

Problema

Dado el cuadrado \(ABCD\), demostrar que el triángulo \(DMC\) es equilátero.

Triángulo equilátero construido dentro de un cuadrado

Solución

  1. El triángulo \(AMB\) es isósceles, por lo tanto \[ MA = MB \] Los ángulos \(MAD\) y \(MBC\) son iguales. Así, los triángulos \(DAM\) y \(CBM\) tienen: - Dos lados iguales - El ángulo comprendido igual Por lo tanto, los triángulos son congruentes (SAS). De ahí: \[ DM = CM \] El triángulo \(DCM\) es, por consiguiente, isósceles.
  2. Trazamos la perpendicular \(MM'\) al lado \(CB\). Consideramos los triángulos rectángulos \(MCM'\) y \(MBM'\). Usando definiciones de tangente: \[ \tan(\angle MCM') = \frac{MM'}{CM'} \] \[ \tan(\angle MBM') = \frac{MM'}{BM'} \]
  3. Reescribimos: \[ CM' = \frac{MM'}{\tan(\angle MCM')} \] \[ BM' = \frac{MM'}{\tan(\angle MBM')} \]
  4. Dado que \( \angle MBM' = 75^\circ \), sea \(x\) el lado del cuadrado. Entonces: \[ MM' = \frac{x}{2} \] \[ CM' + BM' = x \]
  5. Sustituimos: \[ x = \frac{x/2}{\tan(\angle MCM')} + \frac{x/2}{\tan(75^\circ)} \]
  6. Dividimos por \(x\) y multiplicamos por 2: \[ 2 = \frac{1}{\tan(\angle MCM')} + \frac{1}{\tan(75^\circ)} \]
  7. Calculamos \( \tan(75^\circ) \) usando la fórmula de la suma de tangentes: \[ \tan(75^\circ) = \tan(30^\circ + 45^\circ) \] \[ \tan(75^\circ) = \frac{\tan 30^\circ + \tan 45^\circ} {1 - \tan 30^\circ \tan 45^\circ} \] Dado que \[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \tan 45^\circ = 1 \] obtenemos \[ \tan(75^\circ) = 2 + \sqrt{3} \]
  8. Sustituimos: \[ 2 = \frac{1}{\tan(\angle MCM')} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \] Resolvemos: \[ \frac{1}{\tan(\angle MCM')} = 2 - \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \] Después de simplificar: \[ \tan(\angle MCM') = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
  9. Por lo tanto, \[ \angle MCM' = 30^\circ \]
  10. Ahora calculamos: \[ \angle DCM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
  11. Dado que el triángulo \(DCM\) es isósceles y uno de sus ángulos es \(60^\circ\), todos sus ángulos son \(60^\circ\). Por lo tanto: \[ \triangle DMC \text{ es equilátero.} \]

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