Cómo resolver un triángulo rectángulo dado su perímetro y altura

En este problema, determinamos los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando se conocen su perímetro y la altura sobre la hipotenusa.

Problema

El perímetro de un triángulo rectángulo es 240 cm. La altura trazada perpendicular a la hipotenusa mide 48 cm. Halla los dos catetos y la hipotenusa del triángulo.

Solución paso a paso

• Sean los catetos \(a\) y \(b\), la hipotenusa \(H\), y la altura \(h = 48\).
• Ecuación del perímetro: \[ a + b + H = 240 \]
• Teorema de Pitágoras: \[ a^2 + b^2 = H^2 \]
• Área usando los catetos: \[ A = \frac{1}{2}ab \]
• Área usando la altura y la hipotenusa: \[ A = \frac{1}{2}hH \]
• Dado que ambas expresiones son iguales al área: \[ ab = hH \] Sustituye \(h = 48\): \[ ab = 48H \]
• De la ecuación del perímetro: \[ a + b = 240 - H \]
• Eleva al cuadrado ambos lados: \[ (a + b)^2 = (240 - H)^2 \] \[ a^2 + b^2 + 2ab = 240^2 + H^2 - 480H \]
• Resta \(a^2 + b^2 = H^2\): \[ 2ab = 240^2 - 480H \]
• Sustituye \(ab = 48H\): \[ 2(48H) = 240^2 - 480H \] \[ 96H = 57600 - 480H \]
>Despeja \(H\): \[ 576H = 57600 \] \[ H = 100 \text{ cm} \]
• Sustituye \(H = 100\): \[ a + b = 140 \] \[ ab = 4800 \]
• De \(ab = 4800\), escribe: \[ b = \frac{4800}{a} \]
• Sustituye en \(a + b = 140\): \[ a + \frac{4800}{a} = 140 \]
• Multiplica por \(a\): \[ a^2 + 4800 = 140a \] \[ a^2 - 140a + 4800 = 0 \]
• Resuelve la ecuación cuadrática: \[ a = 80 \text{ cm} \quad \text{o} \quad a = 60 \text{ cm} \]
• Usando \(b = 4800/a\): \[ b = 60 \text{ cm} \quad \text{o} \quad b = 80 \text{ cm} \]

Respuesta final

Suponiendo \(a < b\), las dimensiones del triángulo son:

Este es un triángulo rectángulo clásico 60–80–100, que es una versión escalada del triángulo 3–4–5.

Más tutoriales de geometría