Se te da el perímetro de un círculo pequeño y se te pide determinar el radio de un círculo más grande inscrito en un cuadrado. Los dos círculos son tangentes entre sí.
En la siguiente figura:
Encuentra el radio del círculo más grande.
Presentamos dos métodos de solución diferentes.
Desde el punto \(T\), traza segmentos hacia los puntos de intersección \(M\) y \(N\) del círculo pequeño con el cuadrado. Debido a que \(AT\) es un diámetro, los ángulos \(AMT\) y \(ANT\) son ángulos rectos. Por simetría, \(AM = AN\), por lo tanto \(AMTN\) es un cuadrado.
La diagonal de este cuadrado más pequeño es igual al diámetro del círculo pequeño.
Dado que el perímetro del círculo pequeño es \(4\pi\),
\[ d = \frac{\text{perímetro}}{\pi} = \frac{4\pi}{\pi} = 4 \]Por lo tanto, la diagonal del cuadrado pequeño es 4. Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo \(ANT\):
\[ AN^2 + NT^2 = 4^2 \]Como el cuadrado tiene lados iguales:
\[ AN = NT \] \[ 2AN^2 = 16 \] \[ AN^2 = 8 \] \[ AN = NT = 2\sqrt{2} \]Ahora considera el triángulo rectángulo \(TPC\). Usando el teorema de Pitágoras:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]Observa que:
\[ x = r - 2\sqrt{2}, \quad y = r - 2\sqrt{2} \]Sustituye:
\[ (r - 2\sqrt{2})^2 + (r - 2\sqrt{2})^2 = r^2 \] \[ 2(r - 2\sqrt{2})^2 = r^2 \]Tomando la raíz cuadrada:
\[ \sqrt{2}(r - 2\sqrt{2}) = r \]Resolviendo se obtiene:
\[ r = 4 + 4\sqrt{2} \]Considera el triángulo rectángulo \(AQC\). Aplicando el teorema de Pitágoras:
\[ r^2 + r^2 = (r + 4)^2 \] \[ 2r^2 = r^2 + 8r + 16 \] \[ r^2 - 8r - 16 = 0 \]Resolviendo la ecuación cuadrática se obtienen dos soluciones, pero solo el valor positivo es válido:
\[ r = 4 + 4\sqrt{2} \]Explora más tutoriales y problemas de geometría interactivos:
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