Tres Círculos Tangentes – Problema de Geometría Con Solución Detallada
En este problema de geometría, tres círculos son mutuamente tangentes entre sí y también tangentes a una línea común \( L \).
Los radios de los círculos \( A \) y \( B \) están dados, y determinamos el radio del círculo \( C \).
Problema
Tres círculos son tangentes entre sí y a una línea \( L \).
El radio del círculo \( A \) es \( 10 \text{ cm} \), y el radio del círculo \( B \) es \( 8 \text{ cm} \).
Encuentra el radio del círculo \( C \).
Solución Paso a Paso
Sean los radios de los tres círculos:
\[
a = 10, \quad b = 8, \quad c = ?
\]
Traza perpendiculares desde los centros de los círculos a la línea \( L \).
Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos apropiados, podemos determinar las distancias horizontales entre los centros.
Paso 1: Triángulo \( BCB' \)
Usando el teorema de Pitágoras:
\[
x^2 + (b - c)^2 = (b + c)^2
\]
Expandiendo:
\[
x^2 + b^2 - 2bc + c^2 = b^2 + 2bc + c^2
\]
Simplificando:
\[
x^2 = 4bc
\]
\[
x = 2\sqrt{bc}
\]
Paso 2: Triángulo \( ACA' \)
\[
y^2 + (a - c)^2 = (a + c)^2
\]
Expandiendo y simplificando:
\[
y^2 = 4ac
\]
\[
y = 2\sqrt{ac}
\]
Paso 3: Triángulo \( ABA'' \)
\[
z^2 + (a - b)^2 = (a + b)^2
\]
Simplificando:
\[
z^2 = 4ab
\]
\[
z = 2\sqrt{ab}
\]
Paso 4: Usando la Relación Geométrica
Dado que la distancia horizontal satisface:
\[
z = x + y
\]
Sustituye las expresiones:
\[
2\sqrt{ab} = 2\sqrt{bc} + 2\sqrt{ac}
\]
Divide ambos lados por 2:
\[
\sqrt{ab} = \sqrt{bc} + \sqrt{ac}
\]
Factoriza \( \sqrt{c} \):
\[
\sqrt{ab} = \sqrt{c}(\sqrt{b} + \sqrt{a})
\]
Resuelve para \( \sqrt{c} \):
\[
\sqrt{c} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}
\]
Eleva al cuadrado ambos lados:
\[
c = \frac{ab}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}
\]
Paso 5: Sustituye los Valores Dados
\[
c = \frac{10 \times 8}{(\sqrt{10} + \sqrt{8})^2}
\]
\[
c \approx 2.2 \text{ cm}
\]
Respuesta Final
\[
\boxed{c \approx 2.2 \text{ cm}}
\]
Por lo tanto, el radio del círculo \( C \) es aproximadamente 2.2 cm.
Geometría problemas con soluciones