Encontrar el radio de un círculo tangente a un triángulo

En este problema de geometría, un triángulo es tangente a un círculo en dos puntos. Se nos dan longitudes específicas y debemos determinar el radio del círculo utilizando relaciones de triángulos rectángulos y álgebra.

Problema

En la siguiente figura, el triángulo \(ABC\) es tangente a un círculo con centro \(O\) en dos puntos. Las longitudes son:

\[ AM = 6 \text{ cm}, \quad BC = 18 \text{ cm} \]

Encuentra el radio \(r\) del círculo.

Diagrama del problema de geometría: triángulo tangente a círculo

Solución

Sean \(B\) y \(N\) los puntos de tangencia. Dado que un radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, se forman varios triángulos rectángulos.

Diagrama de la solución del problema de geometría: triángulo tangente a círculo

Paso 1: Aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo \(AON\)

Sea \(r\) el radio del círculo. Entonces:

\[ AN^2 + r^2 = (r + 6)^2 \]

Simplificando:

\[ AN^2 = 36 + 12r \] \[ AN = \sqrt{36 + 12r} \]

Paso 2: Usar triángulos rectángulos congruentes

Los triángulos \(ONC\) y \(OBC\) son triángulos rectángulos con \(ON = OB = r\). Por lo tanto, son congruentes y:

\[ NC = BC = 18 \]

Paso 3: Aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo \(ABC\)

\[ (6 + 2r)^2 + 18^2 = (18 + AN)^2 \]

Paso 4: Expandir y simplificar

Después de expandir y simplificar: \[ 4r^2 + 12r = 36AN \] Sustituir \(AN = \sqrt{36 + 12r}\): \[ r^2 + 3r = 9\sqrt{36 + 12r} \]

Paso 5: Elevar al cuadrado ambos lados

\[ (r^2 + 3r)^2 = 81(36 + 12r) \] Expandiendo: \[ r^4 + 6r^3 + 9r^2 - 972r - 2916 = 0 \]

Paso 6: Resolver la ecuación

La ecuación tiene dos soluciones reales. Solo la solución positiva es válida para un radio:

\[ \boxed{r = 9 \text{ cm}} \]

Respuesta final

\[ \boxed{9 \text{ cm}} \] Geometría problemas con soluciones