Círculo Tangente a un Triángulo Rectángulo - Problema con Solución

Resuelve un triángulo rectángulo cuyos lados son todos tangentes a un círculo. Tanto el problema como su solución detallada se presentan a continuación.

Problema

ABC es un triángulo rectángulo. Dado uno de los ángulos del triángulo ABC y el radio del círculo tangente a los tres lados del triángulo rectángulo, encuentra las longitudes de los dos catetos y la hipotenusa del triángulo ABC.

Solución

• Los triángulos COM y CON son triángulos rectángulos con hipotenusas congruentes \( OC \) y lados correspondientes congruentes \( OM \) y \( ON \), por lo tanto, son congruentes. De ahí, los ángulos \( \angle OCM \) y \( \angle OCN \) también son congruentes; por lo tanto, la medida del ángulo OCM está dada por
  

  

  \[ \angle OCM = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ \]
• Usando \( \tan(\angle OCM) \) para calcular la longitud del lado CM: \[ \tan \angle OCM = \tan(18^\circ) = \frac{r}{CM} \] \[ CM = \frac{r}{\tan(18^\circ)} = \frac{10}{\tan(18^\circ)} \approx 30.8 \text{ cm} \]
• La medida del ángulo \( \angle PAM \) es: \[ 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ \]
• Dado que los triángulos AOM y AOP son rectángulos y congruentes, la medida del ángulo \( \angle OAM \) es: \[ \frac{54^\circ}{2} = 27^\circ \]
• La longitud del lado AM se calcula como: \[ \tan \angle OAM = \tan(27^\circ) = \frac{r}{AM} \] \[ AM = \frac{r}{\tan(27^\circ)} = \frac{10}{\tan(27^\circ)} \approx 19.6 \text{ cm} \]
• La hipotenusa AC es: \[ AC = AM + CM = 19.6 + 30.8 = 50.4 \text{ cm} \]
• El cateto AB es: \[ AB = AP + r = AM + r = 19.6 + 10 = 29.6 \text{ cm} \]
• El cateto BC es: \[ BC = BN + CN = 10 + CM = 10 + 30.8 = 40.8 \text{ cm} \]