Problemas de área de círculos superpuestos con soluciones detalladas.
La distancia entre los centros de dos círculos \( C_1 \) y \( C_2 \) es igual a 10 cm. Los círculos tienen radios iguales de 10 cm. \( O \) es el centro de \( C_2 \) y \( P \) es el centro de \( C_1 \). Encuentra el área superpuesta de los dos círculos. Aproxima tu respuesta a un decimal.
El área superpuesta consta de dos partes iguales. Encontramos una parte (mostrada en azul a continuación) y luego la multiplicamos por 2. Dado que los dos círculos tienen radios iguales, \( M \) es el punto medio del segmento \( OP \). Dado \( OP = 10 \) cm, encontramos:
\[ d(O, M) = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \] Usando la ley del coseno:
\[ \cos(\angle BOM) = \frac{d(O, M)}{OB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Tomando la función arccos:
\[ \angle BOM = 60^\circ \]
Dado que \( \angle AOB = 2 \times \angle BOM \):
\[ \angle AOB = 120^\circ \]
El área de la región azul es la diferencia entre el área del sector \( OBPA \) y el área del triángulo \( AOB \).
El área del sector \( OBPA \) es:
\[ \text{área del sector} = \frac{1}{2} r^2 \theta \]
\[ = \frac{1}{2} (10)^2 \times \frac{120 \pi}{180} \]
\[ = \frac{100\pi}{3} \]
El área del triángulo \( OBA \) es:
\[ \text{área del triángulo} = \frac{1}{2} r^2 \sin(120^\circ) \]
\[ = \frac{1}{2} (10)^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ = \frac{50\sqrt{3}}{2} \]
La región azul (Área 1) es:
\[ \text{Área 1} = \frac{100\pi}{3} - \frac{50\sqrt{3}}{2} \]
El área superpuesta total (Área 2) es:
\[ \text{Área 2} = 2 \times \left( \frac{100\pi}{3} - \frac{50\sqrt{3}}{2} \right) \]
\[ \approx 122.8 \text{ cm}^2 \]