Dos Círculos y un Cuadrado - Problema con Solución

Se presenta un problema, con una solución detallada, sobre un cuadrado inscrito en un círculo y circunscrito alrededor de otro.

Problema

El cuadrado \(ABCD\) está inscrito dentro del círculo más grande \(C_1\) y el círculo más pequeño \(C_2\) está inscrito dentro del mismo cuadrado. Si \(A_1\) es el área del círculo grande y \(A_2\) es el área del círculo pequeño, ¿cuál es la razón \( \dfrac{A_1}{A_2} \)?

Solución al Problema

• Si \( x \) es el tamaño de un lado del cuadrado, el círculo pequeño tiene un diámetro de tamaño \( d = x \) y su radio es \( \frac{x}{2} \), por lo tanto su área \( A_2 \) está dada por: \[ A_2 = \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\pi x^2}{4} \]
• El radio \( R \) del círculo grande es igual a \( D / 2 \), donde \( D \) es la diagonal del cuadrado. Por el teorema de Pitágoras: \[ D^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \] \[ D = x \sqrt{2} \] \[ R = \frac{x \sqrt{2}}{2} \]
• El área \( A_1 \) del círculo grande está dada por: \[ A_1 = \pi \left(\frac{x \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi x^2}{2} \]
• Por lo tanto, la razón de las áreas es: \[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{\pi x^2}{2}}{\frac{\pi x^2}{4}} = 2 \]

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