Si cortas la parte superior de un cono con un plano perpendicular a la altura del cono, obtienes un tronco de cono. Mira la figura de la izquierda: la base superior del tronco tiene radio \(r\) y la base inferior tiene radio \(R\). La altura del tronco es \(h\).
A la derecha se muestra la forma obtenida si el tronco de la izquierda se corta a lo largo de la altura inclinada \(H\). Esta forma puede usarse para construir un tronco de cono. Es parte de un sector circular; mira la figura a continuación. Comencemos expresando \(H\) en términos de \(r\), \(R\) y \(h\). Usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la izquierda cuya hipotenusa es \(H\), de la siguiente manera:
\[ H^2 = h^2 + (R - r)^2 \]
Por lo tanto, \[ H = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} \] Si ahora prolongas los lados de la figura de la derecha arriba, obtienes el sector que se muestra a continuación.
Para construir el tronco, necesitas encontrar \(x\), \(y\) y el ángulo central \(\theta\). Usando la fórmula de la longitud de arco, podemos escribir:
\[ 2 \pi r = x \theta \] y \[ 2 \pi R = y \theta \]
Las fórmulas anteriores pueden usarse para escribir:
\[ \frac{2 \pi R}{2 \pi r} = \frac{y \theta}{x \theta} \] que se simplifica a: \[ \frac{R}{r} = \frac{y}{x} \]
También podemos escribir:
\[ y = x + H \] Sustituye \(y = x + H\) en \(\frac{R}{r} = \frac{y}{x}\) y resuelve para \(x\): \[ \frac{R}{r} = \frac{x + H}{x} \] \[ R x = r x + r H \] \[ R x - r x = r H \] \[ x = \frac{r H}{R - r} \]
Ahora usamos \(y = x + H\) para encontrar \(y\): \[ y = \frac{r H}{R - r} + H \]
Cualquiera de las fórmulas \(2 \pi r = x \theta\) o \(2 \pi R = y \theta\) puede usarse para encontrar el ángulo central \(\theta\) (en radianes):
\[ \theta = \frac{2 \pi r}{x} \] \[ = \frac{2 \pi r}{\frac{r H}{R - r}} \] \[ = \frac{2 \pi (R - r)}{H} \]
Encuentra \(H\), \(x\), \(y\) y \(\theta\) para un tronco de cono con \(r = 10\) cm, \(R = 20\) cm y \(h = 25\) cm.
Primero, encuentra \(H\):
\[ H^2 = 25^2 + (20 - 10)^2 \] \[ H = \sqrt{725} \, \text{cm} \]
\[ x = \frac{r H}{R - r} = \frac{10 \sqrt{725}}{20 - 10} = \sqrt{725} \, \text{cm} \] \[ y = x + H = 2 \sqrt{725} \, \text{cm} \] \[ \theta = \frac{2 \pi r}{x} = \frac{2 \pi 10}{\sqrt{725}} \] En grados, el ángulo \(\theta\) está dado por \[ \theta = 180 \left( \frac{2 \pi 10}{\sqrt{725}} \right) / \pi = 133.7^\circ \, \text{(redondeado a 1 decimal)}. \]
Área de Superficie y Volumen de un Tronco de Cono - Calculadora Geométrica. Calcula el área de superficie, el volumen y otros parámetros de un tronco de cono dados su radio \(R\) en la base, su radio \(r\) en la parte superior y su altura \(h\).