Problemas de la Ley del Coseno

Resuelve problemas usando la ley del coseno; un tutorial con soluciones detalladas y ejercicios con respuestas.

Problema 1

• Usemos la figura a continuación y establezcamos \( a = 10 \, \text{cm} \), \( b = 7 \, \text{cm} \), y \( c = 5 \, \text{cm}. \)
  
  
• Ahora usamos la ley del coseno para encontrar el ángulo más grande \( A \): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]
• Sustituye \( a \), \( b \), y \( c \) por sus valores y resuelve para \( \cos(A) \): \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] \[ \cos(A) = \frac{7^2 + 5^2 - 10^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} \] \[ \cos(A) = \frac{49 + 25 - 100}{70} = \frac{-13}{35} \]
• Usa una calculadora para encontrar el ángulo \( A \) y redondea a 1 decimal: \[ A = \arccos\left(\frac{-13}{35}\right) \approx 111.8^\circ \]
• Podemos usar la ley del seno para encontrar el ángulo \( B \): \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \]
• Resuelve para \( \sin(B) \): \[ \sin(B) = \frac{b}{a} \sin(A) = \frac{7}{10} \sin(111.8^\circ) \]
• Usa una calculadora para encontrar \( B \) y redondea a 1 decimal: \[ B \approx 40.5^\circ \]
• Usa el hecho de que la suma de todos los ángulos en un triángulo es igual a \( 180^\circ \) para encontrar el ángulo \( C \): \[ C = 180^\circ - (40.5^\circ + 111.8^\circ) \approx 27.7^\circ \]

Problema 2

Una estación de seguimiento de aeronaves determina la distancia desde un punto común \( O \) a cada aeronave y el ángulo entre ellas. Si el ángulo \( O \) entre las dos aeronaves es \( 49^\circ \) y las distancias desde el punto \( O \) a las dos aeronaves son 50 km y 72 km, encuentra la distancia \( d \) entre las dos aeronaves (redondea la respuesta a 1 decimal).

• Un diagrama del problema anterior se muestra a continuación:
• La ley del coseno se puede usar de la siguiente manera: \[ d^2 = 72^2 + 50^2 - 2(72)(50) \cos(49^\circ) \]
• Resuelve para \( d \): \[ d = \sqrt{72^2 + 50^2 - 2(72)(50) \cos(49^\circ)} \approx 54.4 \, \text{km} \]

Ejercicios

1. Un triángulo tiene lados iguales a 4 m, 11 m y 8 m. Encuentra sus ángulos (redondea las respuestas a 1 decimal).

2. Un barco sale del puerto a la 1 pm viajando hacia el norte a una velocidad de 30 millas/hora. A las 3 pm, el barco ajusta su curso 20 grados hacia el este. ¿A qué distancia está el barco del puerto a las 4 pm? (redondea a la unidad más cercana).

Soluciones a los Ejercicios Anteriores

Más Referencias a las Leyes del Coseno y del Seno y Geometría