Problemas sobre Triángulos Equiláteros con Soluciones Detalladas

Soluciones a las Preguntas Anteriores

1. Solución
   
   Si el lado del triángulo equilátero es \( a \), su perímetro P está dado por
   
   P = 3 \( a \)
   
   \( a \) = P / 3 = 45 / 3 = 15 cm
   
   Área A = \( a^2\dfrac{\sqrt 3}{4} \) = \( 15^2\dfrac{\sqrt 3}{4} \) = \( \dfrac{225} {4} {\sqrt 3} \) cm²

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2. Solución
   
   Si h es la altura del triángulo equilátero y \( a \) su lado, tenemos la relación (ver fórmula arriba)
   
   h = \( a \dfrac{\sqrt 3}{2} \)
   
   h = 20, de ahí la ecuación: 20 = \( a\dfrac{\sqrt 3}{2} \)
   
   Resuelve para \( a \) para obtener: \( a = \dfrac{40}{\sqrt 3} \)
   
   Área A = \( a^2\dfrac{\sqrt 3}{4} \) = \( (\dfrac{40}{\sqrt 3})^2\dfrac{\sqrt 3}{4} = \dfrac{400}{3} \sqrt 3 \) unidad²

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3. Solución
   
   Sea R el radio del círculo circunscrito a un triángulo equilátero de lado a, entonces (ver fórmula arriba)
   
   R = \( a\dfrac{\sqrt 3}{3} \) = \( 5 \dfrac{\sqrt 3}{3} \) , \( a = 5\) dado
   
   Área del círculo de radio R = \( \pi R^2 = \pi (5\dfrac{\sqrt 3}{3})^2 = \dfrac{25}{3}\pi \) pulgadas²

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4. Solución
   
   Sea r el radio del círculo inscrito a un triángulo equilátero de lado a, entonces (ver fórmula arriba)
   
   r = \( a\dfrac{\sqrt 3}{6} \)
   
   Eleva al cuadrado ambos lados de lo anterior para obtener: r² = \( \dfrac{a^2}{12} \)
   
   El área A del círculo de radio r está dada por:   A = \( \pi r^2 = \pi \dfrac{a^2}{12} \)
   
   El área del triángulo equilátero está dada, por lo tanto: 100 = \( a^2\dfrac{\sqrt 3}{4} \)
   
   Resuelve lo anterior para encontrar: \( a^2 = \dfrac{400} {\sqrt 3}\)
   
   Sustituye a² encontrado arriba en la expresión del área A = \( = \pi \dfrac{a^2}{12} \) encontrada arriba para hallar
   
   A = \( = \pi \dfrac{\dfrac{400} {\sqrt 3}}{12} = \pi \dfrac{100\sqrt 3}{9} \) cm²

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5. Solución
   
   Si R es el radio del círculo circunscrito y r el radio del círculo inscrito a un triángulo equilátero de lado a, entonces la razón S está dada por
   
   \( S = \dfrac{\pi R^2}{\pi r^2} = \dfrac{ R^2} {r^2} = (\dfrac{ R} {r})^2 \)
   
   Ahora usamos las fórmulas para R y r dadas arriba y simplificamos
   
   \( S = \left(\dfrac{ a\dfrac{\sqrt 3}{3} } {a\dfrac{\sqrt 3}{6}} \right)^2 = 4\)

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6. Solución
   
   Dado que A'B' es paralelo a AB, los triángulos ABC y AB'C' son semejantes y por lo tanto el triángulo AB'C' también es equilátero y tiene lado igual a 4.
   
   Área de AB'C' = \( 4^2\dfrac{\sqrt 3}{4} = 4 \sqrt 3 \) unidad²

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7. Solución
   
   Área de la forma verde = área del cuadrilátero AMOP - área del sector MOP
   
   El cuadrilátero AMOP está formado por dos triángulos rectángulos congruentes (AC perpendicular a PO y AB perpendicular a MO) ya que P y M son puntos de tangencia. (Nota: AP = a/2)
   
   área del triángulo APO = (1/2) AP × PO = (1/2) AP × r = (1/2) (10 / 2) × \( 10 \dfrac{\sqrt 3}{6} = \dfrac{25\sqrt 3}{6}\)
   
   Ángulo del sector MOP = 360 / 3 = 120°
   
   área del sector MOP = (1/2) (120 π / 180 ) r² = \( \dfrac{\pi}{3} (10\dfrac{\sqrt 3}{6})^2 = 50\pi / 18 \)
   
   Área de la forma verde = 2 × área del triángulo APO - área del sector MOP = \( \dfrac{50\sqrt 3}{6} - 50\pi / 18 \)

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8. Solución
   
   AB = \( \sqrt{b^2} \) = 12
   
   Resuelve para b
   
   b = 12
   
   AC = \( \sqrt{(x^2 +y^2)} \) = 12 da \( x^2 +y^2 = 12^2\)
   
   BC = \( \sqrt{((x-12)^2 +y^2)} \) = 12 da \( (x-12)^2 +y^2 = 12^2 \)
   
   Expande la última ecuación: \( x^2 -24x + 12^2 + y^2 = 12^2 \)
   
   Usa \( x^2 +y^2 = 12^2\) en la última ecuación para obtener
   
   \( 24 x = 12^2 \) , resuelve para x: x = 6
   
   Sustituye x = 6 en la ecuación \( x^2 +y^2 = 12^2 \) para encontrar y = 6 √3

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9. Solución
   
   Dado que A'B' es paralelo a AB, los triángulos ABC y AB'C' son semejantes y ambos equiláteros. Por lo tanto, CB' = 4 y B'B = 10 - 4 = 6
   
   El ángulo BB'B'' tiene un tamaño de 30° ya que el tamaño del ángulo B'BB" es 60°.
   
   sin(30°) = BB" / BB' , por lo tanto BB" = 3 y usa Pitágoras para obtener B'B" = 3√3
   
   área del triángulo BB'B" = (1/2) B'B" × BB" = (1/2) 3√3 × 3 = 4.5√3 unidad²

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10. Solución
    
    

    

    La figura anterior muestra que los centros de los círculos forman un triángulo equilátero de lado 2r donde r = 15 (dado) es el radio de un círculo.
    
    El área de la forma roja = área del triángulo equilátero - áreas de tres sectores congruentes (cada sector tiene un ángulo de 60°)
    
    área del triángulo equilátero = \( (2r)^2\dfrac{\sqrt 3}{4} = 30^2\dfrac{\sqrt 3}{4} \)
    
    áreas de tres sectores congruentes = 3 × área de un sector = 3 × (1/2) ( 60 π /180) r² = 15² π /2
    
    El área de la forma roja = \( ( 30^2\dfrac{\sqrt 3}{4} - 15^2 \dfrac{\pi}{2} ) \) unidad²

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